第五版：概率统计习题全解 - 同济大学 - 高等教育出版社 重点题(2)

y0?y?2 fY?y??FY??y?? 2

其他0解法二：y?2x，x?fY?y??fX?h?y??h??y?

y1?h?y?，而h??y??，则 22y1y?,0??1 = 22 20,其他2?y0?y?2, = 2

其他0（2）设Y??X?1，则x?1?y?h?y?,h??y???1，Y的密度函数

fY?y??fX?h?y??h??y??

0?1?y?12?1?y?????1

其他0 = 0?1?y?12?y?1? 其他0（3）设Y?X2，由于X只取?0,1?中的值，所以y?x2也为单调函数，其反函数h?y??y,h??y??11，因此Y的密度函数为 2y2y?0,11,0?y?12y

其他fY?y??fX?h?y??h??y??

=

1,0,

0?y?1其他

5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X2的密度函数

fY?y?。

解 X~??0,1?，所以fX?x??12?e?x22,???x???，此时y?x2不为单调

函数不能直接利用性质求出fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。

FY?y??P?Y?y??PX?y?

2??0P?y?X??y?

y?0;y?0,

P?y?X??y???y?yfX?x?dx??y12??yey?x22dx.

1fY?y??FY??y??

2?0,e?2y12y?12?e?212y

,y?0;其他,

1 =

2?y0,e,?2y

y?0;其他.

习题七

9. 设随机变量?X,Y?的联合分布律为

X\\Y 0 1 0 0.3 0.4 1 0.2 0.1 求E?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。

解 关于X与Y的边缘分布律分别为： X 0 1 Pr 0.5 0.5 Y Pr 0 0.7 1 0.3 E?X??0?0.5?1?0.5?0.5

EX2?02?0.5?12?0.5?0.5D?X??0.5??0.5??0.25E?Y??0?0.7?1?0.3?0.32????EY2?02?0.7?12?0.3?0.3D?Y??0.3??0.3??0.21E?X?2Y??E?X??2E?Y??0.5?2?0.3??0.12E?3XY??3E?XY??3?0?0?0.3?0?1?0.2?1?0?0.4?1?1?0.1??3?0.1?0.3cov?X,Y??E?XY??E?X??E?Y??0.1?0.5?0.3??0.05cov?X,Y?D?X?D?Y??0.050.250.212121?X,Y????14. 设D?X??25,D?Y??36,?X,Y?0.4，求（1）D?X?Y?；（2）D?X?Y?。

解：（1）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?85

（2）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?37

习题九

7. 设?X1,X2,?,Xn?是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求（1）X~B?1,p?；（2）X~E???；（3）X~R?0,2??，其中??0。 E?X?,D?X?,ES2： 解 （1）X~B?1,p?

??E?X??p,E?X2??p,D?X??p?1?p?

?1n?1nE?X??E??Xi???E?Xi??p?ni?1?ni?1p?1?p??1n?1n D?X??D??Xi??2?D?Xi??

nnni?1?i?1?2?1?n21?n?1n?2?E?S??E???Xi?X?n??E??Xi?nX????E?Xi2??nE?X2???ni?1?n?i?1?n?i?1?2?21?n???D?Xi???E?Xi???nD?X??E?X??n?i?1?2????????p?1?p?1?2???np?n??p??n?n??????1???1??p?1?p??n?

（2）X~E???

E?X??E?X??1?1,D?X??1?2,?1D?X??2n?1?n222ES???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X??n?i?1

?1????????1?1?n???????2

习题十

5. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

???1?x? f?x??

00?x?1其他

其中??0未知，求?的矩估计和最大似然估计。

1?2X??1??11解 E?X???0x????1?x?dx?，令故?的矩估计量为???，?X，

X?1??2??2另，似然函数

???1??Xi? L???? i?1nn0?Xi?1其他

0对数似然函数为

lnL????nln???1????lnXindlnL???n???lnXi?0d???1i?1n1解得?的最大似然估计量为????1?n??1?。

X?Xii?1n

i?11??8. 设总体X的密度函数为f?x;???e,????x????，其中??0未知，

2?x设X1,X2,?,Xn是取自这个总体的一个样本，试求?的最大似然估计。

?n解 似然函数 L????对数似然函数为

1?2??ne?i?1Xi?，

1lnL?????nln?2????Xin?i?1dlnL???n???i?12?0d???1n???得?的最大似然估计量为?Xi。 ni?1

习题十二

5. 某纤维的强力服从正态分布N（μ，1.192），原设计的平均强力为6g，现改进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本平均值为6.35g，总体标准差假定不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高（α=0.05）？

解 设原假设H0：μ?6，备选假设H1：μ>6，统计量Z=10（X平均值-6）/1.19，临界值c=μ0.95=1.645，拒绝域为R={Z?1.645} 计算Z值为 z=10（6.35-6）/1.19=2.941 ；因而拒绝H0，即认为改进工艺后强力有显著提高。

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