第五版：概率统计习题全解 - 同济大学 - 高等教育出版社 重点题

习题一

5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i?1,2,3，试用Ai表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)A1?A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3；

(4)A1?A2?A3； (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.

6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i?1,2,3，B?{三次射击恰好命中二次}，C?{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。

解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3

习题二

10．已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求

(1)P(A),P(B)；(2)P(A?B)；(3)P(AB)；(4)P(BA),P(AB)；(5)P(AB). 解 (1)P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6，P(B)?1?P(B)?1?0.6?0.4； (2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6； (3)P(AB)?P(A)?0.4；

(4)P(BA)?P(A?B)?P(?)?0, P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.6?0.4; (5)P(AB)?P(B?A)?0.6?0.4?0.2.

习题三

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：

(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解 (1) 记B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知

P(B|A1)?6/10，P(B|A2)?8/14，所以

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?161841???? 21021470147? 24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02

?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

(2) P(B)?解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Ai，因而

i?13?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?

习题四

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Ai，因而

i?13?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。

k6?k解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6??????p?1?p?,k?0,1,?,6。

?6??k?由此可算得 P?X?1??6p?1?p?5,P?X?5??6p5?1?p?, 即 6p?1?p?5?6p5?1?p?, 解得p?；

12?6??1??1?此时，P?X?2????2???2??2???????26?26?5?1?15?????。 2!?2?64613. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）X的分布函数。

解 （1）系数A必须满足???Ae?xdx?1，由于e?x为偶函数，所以

???????x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1

??解得A?；

（2）P?0?X?1???0e?xdx??0e?xdx?2211111211?e?1； 2??（3）F?x?????f?x?dx

x =

???2e0x1?xdxx?01?xx1?x???2edx??02edxx

x?0

1xx?0???2edx =

01x1x?xedx?ex?0???2?02dx1xx?0e = 2

11?1?e?xx?022??1xx?0e = 2

1?x1?ex?02 习题五

3. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：

X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且

8?8168?24?,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025

2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025P?X?0,Y?0??或写成

X\\Y 0 1 0 16 254 251 4 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

8?7288?28?,P?X?0,Y?1???,10?94510?945

2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945P?X?0,Y?0??或写成

X\\Y 0 1 0 28 458 451 8 451 455. 对于第3题中的二维随机变量?X,Y?的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。

解 在有放回情况下X的边缘分布律为 X 0 1 概率 Y的边缘分布律为

Y 概率 在无放回情况下X的边缘分布律为 X 概率 Y的边缘分布律为

Y 概率 0 4 54 51 50 4 51 1 50 4 51 1 51 1 512. 设二维随机变量?X,Y?的联合密度函数为

f?x,y??

ke??3x?4y?,0,

x?0,y?0其他

求：（1）系数k；（2）P?0?X?1,0?Y?2?；（3）证明X与Y相互独立。

解 （1）k必须满足??????f?x,y?dxdy?1，即?0dy?0ke??3x?4y?dx?1，经计算得

????????k?12；

（2）P?0?X?1,0?Y?2???0dy?012e??3x?4y?dx?1?e?31?e?8；

21????（3）关于X的边缘密度函数

x?012e??3x?4y?dy,?0 fX?x?????f?x,y?dy?

????0,其他=

同理可求得Y的边缘密度函数为

fY?y??

3e?3x,0,

x?0其他

4e?4y,0,

x?0其他

易见f?x,y??fX?x?fY?y?,???x???,???y???，因此X与Y相互独立。

习题六

3. 设X的密度函数为f?x?? （2）?X?1；（3）X2。 2X；

解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得。

（1）解法一：设Y?2X，则Y的分布函数

y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X??

2??2x,0,

0?x?1;其他, 求以下随机变量的密度函数：（1）

y?02yy2= ?02xdx 0??1 =

2y?1122xdx?000y?0y2 0?y?2 41y?2

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