周益春-材料固体力学课后习题解答(1)(5)

解：采用复变函数保角变换方法求解此平面应力问题。 （一）、选择变换函数

选择将椭圆孔外域映射成单位圆内域的变换函数：z??????R???1??m???,??1 ???其中R?1a?ba?b?1?,m?，在单位圆周上有??，于是 ?????R??m??，

?2a?b????????R?????m?? ????1?， ??????Rm??2 2??? ??????R?m???????m??2????1m?2?1 ， ????22?????????mm??1????（二）、计算几何项：

f0f011m??2????。而 ?0????d?，?0????d????02?i?????2?i?????m?2?1f0?i??Tx?iTy?ds??Rx?iRy2?ln??Rx?iRy??????2Re?A0??????B0???? ?2??K?1?????（三）、计算边界载荷及?0???和?0???

由于孔边界不受外力，故Rx?Ry?0?A1?B1?0，则

f0??2Re?A0??????B0????，

式中A0和B0与无穷远处的应力状态有关。现无穷远处为纯剪应力状态，

?1???s,?3?0,?2?????s。得

A0?1?????1??2??0,Re?A0??0，B0?1?yy??xx?2i?xy?is，于是

24??m???1?f0?iR????s,f0??iR??m??s

??????m??iRsmiR????s?iRs?iRsm11????f??0????d??d?，其中函数在外域解析，其积?2?i?????2?i?????分为

iRsm??0，故?0????iRs?,?0????iRs ? 46

1?0????2?i???iRsm??iRs2?d???m???????0???m?2?1

?m??2?iRs?3m2?1??iRs???m?m?2?1???1?m?2??（四）、计算复势????和????

????????A1ln??A0??????0?????0????iRs?

?1?iRs?3m2?1??????B1ln??B0??????0????iRs????m????1?m?2

??（五）、返回Z平面（物理平面）

???????????yy??xx?4Re?2???????????????????????2i??? ??????????2?????????2??????????????????????????i?由应力边界条件椭圆边界上的????0；当????e时，椭圆孔边的???，

??????????????iRs?is???4Re??4Re?4Re??2i????1???m?e????????R??m??2???????ei???4s?sin2???????2??m?2mcos2??1

????0??? ??习题9、如图4-9所示，在无穷远处承受均匀拉应力S作用的无限大板，其中间有一椭圆孔，试用曲线坐标（椭圆坐标）求椭圆孔边的应力分布。

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pyoxp图4-9

解：采用由z??????Cch?所导出的椭圆坐标，较容易得出椭圆孔的边界条件，使该问题的求解过程变得较简单。设域内一点以直角坐标表示为：z?x?iy，对应的椭圆坐标为：????i?。则

z?Cch??Cch?cos??iCsh?sin??x?iy，所以

x?Cch?cos??? （a）

y?Csh?sin??当?为常数时，(a)式表示相应的椭圆参数方程。令???0表示直角坐标系中的椭圆孔，则应有

a?Cch?0,b?Csh?0 （b）

由(b)式可定出?0和C。当???时，即表示无限大的椭圆。对题中的问题选取复势：

??z??ACsh?,??z??BC2? （c）

式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。 当???时，?x??y?p，即??????p；

当???0时（即在椭圆孔的边界上），???????0。由z??????Cch?可得：

dz??????????sh?sh?，于是 ?Csh?,ei???e2i?????d??????????sh?sh????z??ACch?d?ch??A?Acth? （d） dzsh?当???时，???????y??x?4Re????z???2p，而当???时，cth??1。 所以，A?p。由(c)和(d)式可求得 2 48

????z???A1ch?????， ,z?z??A33Csh?sh?1ch?,????z???B3 sh?sh???z?????z??BC当???时，sh???，因此有z????z??????z??0,z????z??????z??0。于是

??????2i????2e2i?z????z??????z??0，即??????0,????0。这样就满足了无穷远处的

边界条件，即??????????????p, ???????0 。

只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足椭圆孔处的边界条件，问题就得到解决。

??????2i????2e2i?z????z??????z???由 ?

??????2???z?????z???????2i?z????z??????z?，注意到e2i??得???i???????z?????z??e??sh?，可求得 sh????i????1Ash?sh????ch??Bch?， 2sh?sh???????在椭圆孔上，????2?0,???0,??2?0??。因此有

???i???????0p1B??Ach2???ch2?0，则当???0时有??。若取Ach2??Bch?002sh2?sh??????0???????0?0，这样便满足了椭圆孔处的边界条件。因此，本问题的复势被确定为

pCpC2??z??sh?,??z?????ch2?0。还需检验由此复势得到的位移是否满足位移单值条件。由位

22移的复势表达式

2G(u?iv)???(z)?z?'(z)??(z)?Cpch2?03??pCpCsh??ch??cth??

1??222sh?3??。上式中的双曲函数均是以2?为周期的函数，因此当绕1??上式中的K在平面应力状态下K???const的任一椭圆一周后，位移u，v将恢复为起始位移值，这就保证了位移的单值性。

椭圆孔边的应力??可由??????4Re????z???2pRe?cth???2psh2?求得；当???0时，

ch2??cos2???

???0?0，因此?????0?2psh2?0。

ch2?0?cos2?49

其最大值在长轴的端点，即??0和???处，其最大应力值为

??max???0?2psh2?0

ch2?0?12aba2?b2由(b)式可求出?0和C：C?a?b,sh2?0?2,ch2?0?代入上式得

CC2222??????0max2pa,??bmaxmin???0?2psh2?02pb ?ch2?0?1a当椭圆逐渐变得扁长时，应力?????0也逐渐增大。而当a=b时，即对应于圆孔情况，???2p。

习题10、如图所示，由双曲线ABC和DEF构成边界的板受到沿y轴方向的拉力作用，并在EOB

截面上的拉应力之合力为有限值。试利用曲线坐标（椭圆坐标）求解边界上的应力。

解：采用由z??????Cch?所导出的椭圆坐标，设域内一点以直角坐标表示为：z?x?iy，对应的椭圆坐标为：????i?。则

z?Cch??Cch?cos??iCsh?sin??x?iy，所以

pFEoCBx

x?Cch?cos??? （a）

y?Csh?sin??当?为常数时，(a)式表示相应的双曲线参数方程。 令???0表示直角坐标系中的双曲线AB段。则应有

a?Ccos?0,b?Csin?0 （b）

Dy图4-10

Ap同理，令?????0表示直角坐标系中的双曲线BC段，令

?????0表示直角坐标系中的双曲线EF段，令??2???0表示直角

坐标系中的双曲线DE段。只要研究双曲线的AB段，其它各段完全类似。现在研究双曲线的AB段的应力状态。

由(b)式可定出?0和C。对题中的问题选取复势：

??z???iA?,??z???iA?Cch??iBCsh? （c）

式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。 当??1212?2时，?x?0,?y?p，即???0,???p；

当???0时（即在双曲线的边界上），???????0。由z??????Cch?可得：

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