周益春-材料固体力学课后习题解答(1)

第一章

习题1 证明e??恒等式eijkeist??js?kt??ks?jt [证明]

eijkeist?ii?is?it??ji?js?jt?ki?ks?kt??ii?js?kt??ks?jt??ji??is?kt??ks?it???ki?is?jt??js?it?3?js?kt?3?ks?jt??js?kt??ks?jt??ks?jt??js?kt??js?kt??ks?jt

????习题2 证明若[证明]

qoy，则aijbij?0

?aij?aji;bij??bji?aijbij??ajibji，?aijbij?ajibji?aijbij?apqbpq?0 又因为所有的指标都是哑指标，apqbpq?aijbij，所以2aijbij?0，即aijbij?0

习题3 已知某一点的应力分量?xx，?yy，?zz，?xy不为零，而?xz??yz?0，试求过该点和z轴，与x轴夹角为?的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z轴，与x轴夹角为?的面的法线，其与x轴，y轴和z轴的方向余弦分别为cosα，sinα，0，则由斜面应力公式的分量表达式，?(?)j??i?ij，可求得该面上的应力为

?(?)1??j?1j??xxcos???xysin? ?(?)2??j?2j??yxco?s??yysi?n ?(v)3??j?3j?0 由斜面正应力表达式?n??ij?i?j，可求得正应力为

?n??xxcos2??2?xycos?sin???yysin2?？？

剪应力为

??σ(n)?σn?σ(n)

22??n?1(?yy??xx)sin2???xycos2? 21

习题4 如已知物体的表面由f(x,y,z)?0确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷p?x,y,z?。试写出其边界条件。 [解] 物体表面外表面法线的方向余弦为

??l?cos?n,x???2?fz?2?fx?2?fy???fy?m?cos?n,y???

222??fz??fx??fy?fz??n?cos?n,z????2?fz?2?fx?2?fy?fx?带入应力边界条件，Ti??ijnj,?i,j?1,2,3?，得

??xy?fz??xz?0?fx???xx?p??fy????yy?p?fz??yz?0? fx??yx?fy??yy?fz???zz?p??0?fx??xz?fy????

习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为?xx，?yy，?zz，?xy，?xz，?表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：

r θ z x cosθ -sinθ 0 y sinθ cosθ 0 z 0 0 1 注意 yz，试求该点以柱坐标

由应力分量转换公式?m'n'??ij?m'i?jn'，求得

?rr??xxcos2???yysin2??2?xysin?cos?

?????xxsin2???yycos2??2?xysin?cos?

?zz??zz

?r????xxsin?cos???yysin?cos???xy(cos2??sin2?)???r

??z??yxcos???zxsin???z? ?zr??yzsin???zxcos?

利用三角公式可将上面的式子改写为

?rr??????xx??yy2?xx??yy2???xx??yy2?xx??yycos2???xysin2? cos2???xysin2?

?

zz2??zz

2

?r????xx??yy2sin2???xycos2?

??z??yxcos???zxsin???z? ?zr??yzsin???zxcos?

习题6 一点的应力状态由应力张量??ij?a??????a??b???式中，a，b，c为常数，?是某应力值，c??给定，

??b?c????求常数a，b，c，以使八面体面n?1(e31?e2?e3)上的应力张量为零

[解] 由斜面应力公式的分量表达式，?(?)j??i?ij，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：13(??a??b?)?0,13(a????c?)?0,13(b??c???)?0

解得a?b?c??12

习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力?1，?2，?3必为实根 [证明]

（1）设任意两个不同的主应力为?k、?l，对应的主方向为nk、nl。根据主应力定义有：

σ(k)?nk?σ??knk， σ(l)?nl?σ??knl

将以上两式分别点乘nk和nl再相减，得

nk?σ?nl?nl?σ?nk??knk?nl??lnl?nk

σ是对称应力张量，上式可改写为

0?(?k??l)nk?nl

所以应力的三个主方向互相垂直

（2）设任意两个不同的主应力为?k、?l，对应的主方向为nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2) ?nk?nl?0,?l1l2?m1m2?n1n2?0

若?1为复数，则?2为其共轭复数，从而方向余弦nk(l1,m1,n1)、nl(l2,m2,n2)互为共轭 ?l1l2?m1m2?n1n2?0 与主方向相互垂直矛盾

所以三个主应力必为实数

习题8 证明球形应力张量?mΙ在任意斜面上的剪应力为零，且正应力为?m

[证明] 球形应力张量?mΙ??me1e1??me2e2??me3e3，设任意斜面的方向余弦为n?l,m,n? 由斜面应力公式 σ(n)?σ?n，得σ(n)?l?me1?m?me2?n?me3 由斜面正应力公式 σn?σ(n)?n，得σn?(l2?m2?n2)?m??m 由斜面剪应力公式，得??σ(n)?σn?σ2(n)??n2?(l2?m2?n2)?m2??m2?0

3

习题9 求应力偏量张量的不变量

1[解] 应力张量σ可分解为球形应力张量?mΙ和应力偏量张量S，(?m?(?11??22??33))

3应力偏量张量S?(Sij)?(?ij??ij?m)，其主应力方程为n?S?Snn，即ni(Sij?Sn?ij)?0S11?SnS12S22?SnS32S13S23S33?Sn(j?1,2,3)

上述方程存在非零解ni的必要条件是系数行列式为零，即S21S3132?Sn?Sn?J3??0 得到关于Sn的三次代数方程，Sn?J1?J2?0

?，J2?和J3?分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 其中J1设S1，S2和S3为应力偏量张量的三个主值?Si??i??m?，则

??S11?S22?S33??11??22??33?3?m?0 J1??J2S22S23S32S33?S11S13S31S33?S11S12S21S22222??S22S33?S33S11?S11S22??S23?S31?S12?S1S2?S2S3?S3S1

??S11S12S13??S21S22S23?S1S2S3 J3S31S32S33

习题11 设Φrs为二阶对称张量，证明由?ij?eipqejmn?qn,pm导出的应力一定满足无体力的平衡方程 [证明] ??ij,j?eipqejmn?qn,pmj 又?ejm,j关于m，j反对称，?qn,pmj关于m，j对称 ??ij,j?eipqejmn?qn,pmj?0，即?ij?eipqejmn?qn,pm满足无体力的平衡方程，?ij,j?0－忽略体力下的平衡

微分方程

习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量??ij??3x1x2?2??5x2??0?25x202x30??2x3?，试求体积力分量

?0??[解] 根据平衡微分方程?ij,j?Fi?0,?i,j?1,2,3?，得 对谁偏导的问题

??xx??xy??xz???Fx?0?x?y?z??yx??yy??yz???Fy?0 ?x?y?z??zx??zy??zz???Fz?0?x?y?z得体积力分量为

Fx?13x2,Fy?2,Fz?0

习题13 如图1.3所示的三角形截面水坝，材料的比重为?，承受着比重为?1液体的压力，已求得应力

4

??xx?ax?by??解为?yy?cx?dy??y?，试根据直边及斜边上的表面条件确定系数a,b,c和d

?xy??dx?ay???[解] 如图所示，建立平面直角坐标系

1水坝左侧表面法线的方向余弦为n?cos?,?sin??，受外力Px?0,Py??y的作用

2根据应力边界条件，Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?，在x?ytg?处

0??ax?by?cos????dx?ay???sin????1? ?y???dx?ay?cos???cx?dy??y???sin???2?水坝右侧表面法线的方向余弦为n??1,0?，受外力Px??1y,Py?0的作用 根据应力边界条件，Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?，在y处

?1y???ax?by??0?dx?ay?

?由上述两个方程组，得a?0,b???1,c??ctg??2?1ctg2?,d??1tg2? 外力是如何确定的

习题14 如图1.4所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为?的液体，右侧为自由表面，试写出以应力分量表示的边界条件。

[解] 如图所示，建立平面直角坐标系

1水坝左侧表面法线的方向余弦为n??cos?,?sin??，受外力Px??ycos?,Py??ysina的作用

2根据应力边界条件，Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?，在x?ytg?处

??xcos???xysin???ycos????

??xycos???ysin???ysin???水坝右侧表面法线的方向余弦为n??cos?,sin??，受外力Px?Py?0的作用 根据应力边界条件，Pi??ijnj,?i,j?1,2,3?，在x?yth?处

?xcos???xysin??0???xycos???ysin??0??

?

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