2014年国赛数学建模论文-嫦娥三号 - 图文(3)

根据距 2400m 处的数字高程图拟合出的三维图像

要求满足该阶段在关键点所处的状态为距离月面 2.4km 到 100m 区间，在设计着陆 点上方 100m 处悬停，并初步确定落月地点，耗时大约 125s。

在 2400m 粗避障阶段中，我们将所给的高程图分成100m 100m 的小区域共 25 25 个， 具体程序见附录 1。分别计算并比较每个区域所含高度 z 值的方差，若方差小，则表明 该区域高度变化不大，通过由小到大排序，得各个区域方差对比情况， 如图 6：

9

求得的结果请看如图 7：

综上，比较这些样本点的方差，根据 S

400 ( xi x) 2 得出这组数据的方差稳定性最好。 x1 2

i

第五阶段：精避障阶段

这个阶段嫦娥三号利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降落的大致位置，

10

调整发动机来粗步避开大陨坑。依据附件三有选择的选取地表数字高程图中 20m 20m 的正方形样本点，依据 C 语言（程序见附录一）计算出它们的平均值，最后计算出一个 方差 S，依次往下面退一行进行其他的正方形样本点的分析求解，分别为 较得出一个最小的正方形区域。

为了让探测器运动较短距离就可达到可降落点，通过同粗避障所用方法一样，利用方差 拟预测地点，

比

如图 8：

该阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面 100 处，据附件四的三维数字高程图并分析， 需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。 第六阶段：缓慢下降阶段

该阶段嫦娥三号高度从 30m 降到 4m，即实现在距离月面 4m 处相对月面静止。要求 满足该阶段在关键点所处的状态为在距离月面 4m 处的速度为 0m/s。因此对嫦娥三号在 软着陆过程中缓速下降阶段的最优控制策略为发动机推力方向向下，且推力大于月球引 力。

该阶段最优控制策略为推力大小为 0N，关闭发动机关闭，嫦娥三号在距离月面 4m 处以

11

初速度为 0m/s 自由落体到月面，且地面倾斜度小于 15 度。

6.3 问题三的模型建立与求解：

卫星的轨道误差分析是卫星测控中需要加以约定的重要指标之一，对我们设计的轨道进 行误差分析，我们主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差。 轨道误差

建立月心惯性坐标系 O XYZ ，记录 t1 时刻探测器轨道开普勒根数为 ( , , , , , ) ， 位置、速度矢量为 , ，那么轨道根数误差是 ? (? ,? ,? ,? ,? ,? ) ，位置、速度矢 量为 ? ,? ，那么有关系是 （11）

??? ? ? ( H K )? ( )? ( Z )? ( N )? ? 2n

0

式 中 / 为 轨 道 升 交 点 方 向 单 位 矢 量 ； Z 0 为 O XYZ 的 Z 方 向 单 位 矢 量 ； 1 N

1 p

( ) 为轨道面法向量的单位矢量；符号 H , K , H , K , , n 表达式分别为：

r sin E H （12） (cos E ), K (1 )

ppn

sin E p H

1 1 , K cos E ， GM 1 （ M 1 为月球引力常量） （13） pr rr p

其中 r r ，E 为探测器运动轨迹偏近点角。

轨道位置误差

建立月心惯性坐标系 O XYZ ，确定以探测器为中心径向 R 、迹向T 和法向 N 三个方向， 建立非惯性星体坐标系 S RTN

? 由开普勒根数误差 ? 表示，在分别求出各根数

由开普勒根数误差 V 表示。在分别求出各根数误差的系数项对 R, T , N 的投影后，将 其相加即得 V r 的 RTN 分量。

?????????? H r+Kr

R sin f pr

有

r?r??对轨道半长轴误差 V 的系数， H r+Kr T

N 0

cos f ， T 0 ， pp （ 14 ） ? H r+Kr N 0

Hr+Kr R cos f? ?????

r （15） ?对于轨道偏心率误差 V 的系数，有 Hr+Kr T (1 ) sin f

p

对于轨道倾角误差 V 的系数，???????????有 +r R +r T +r N r sin 0 ， 0 ， ? Hr+Kr N 0

12

（16）

???????对于轨道倾角升交点赤经误差 V 的系数，有 Z +r R 0 ???

， Z +r T r cos i

???

（17）

N +r N 0

对于轨道升交赤径误差 V 的系数，有

????Z +r N r cos sin Z +r T r cos ??? ， Z +r N r cos sin ，

，，

对于轨道近地点幅度角误差 V 的系数，有 ???

N +r p R 0 N +r N

对于轨道平近点角误差 V 的系数，有

，

???

(1 cos f ) cos sin f sin ???

， N +r N 0

r ?? sin fr ?? 2 1 2r ? ??R ， T ， N 0 nnrn1 2 综上有

r

PR V cos f V sin f V M

2

（18）

1

r 2 1 2

PT 1 sin f V r cos V V M rV pr

22 PN r sin V r sin cos V (rV ) (r sin V ) sin( 0 )同理，将 V 中各根数误差的系数项对 R, T , N 投影后，将其相加即得 V r 的 RTN 分量。 对于轨道半长轴误差 V 的系数，有 r?rr?r? 速度误差

R T 0N 0，， 222

对于轨道偏心率误差 V 的系数.有

?????????? H r+Kr R sin f

pr

?????????? H r+Kr T cos f （19） pp

? H r+Kr N 0

对于轨道倾角误差 V 的系数，有 ???

+r

， R 0

???

+r

T 0

，

???

N p

N +r

(1 cos f ) cos sin f sin

对于轨道升交点赤经误差

的系数，有

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