离散数学-学校教案

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第 1 次课 授课时间 2017 年 9 月 14 日 教案完成时间： 2017 年 9 月 10 日 课程名称 离散数学 年 级 专业技术 职 务 2017 级 专业、层次 授课方式 （大、小） 计算机学院(本科) 教 师 讲师 大 学时 2 授课题目（章、节） 基本教材或主要参考书 教学目的和要求： 1.全称量词，存在量词，存在唯一量词； 2. 一阶语言、解释和赋值 §4.1谓词和量词，§4.2一阶语言 《离散数学》 刘爱民 北京邮电大学出版社 大体内容与时间安排，教学方法： 1. 介绍全称量词，存在量词，存在唯一量词，练习将命题符号化(45min)； 2.介绍一阶语言，对于具体的公式，给出解释和赋值（45min）； 教学重点、难点： 1. 命题符号化 2. 公式的解释和赋值

（主要内容题纲） §4.1谓词和量词 1. 全称量词， 全称量词(Universal Quantifier)：在自然语言中“所有的”、“一切”、“任意的”、“每一个”等表示数量的词，称为全称量词。它用于描述讨论范围中的全部个体，用符号“?”表示。 2. 存在量词， 存在量词(Existential Quantifier)：用符号“?”表示，对应自然语言中“存在一些”、“至少有一个”等表示数量的词。?xF(x)表示个体域中存在个体具有性质F。 3. 存在唯一量词 4. 将具体命题符号化 例2.1-6 将下列命题符号化。 ⑴好人自有好报。 ⑵有会说话的机器人； ⑶没有免费的午餐； ⑷在北京工作的人未必都是北京人。 解 在本题中没有指定个体域，故取个体域为全总个体域。 ⑴设F(x)：x是好人；G(x)：x会有好报，则命题符号化为：?x(F(x)→G(x))。 ⑵设F(x)：x是机器人；G(x)：x是会说话的，则命题符号化为：?x(F(x)∧G(x))。 ⑶设M(x)：x是午餐；F(x)： x是免费的，则命题符号化为：┐?x(M(x)∧F(x))。这句话可作如下叙述，“所有的午餐都不是免费的”，故命题可符号化为：?x(M(x)→┐F(x))。因为在含义上这句话和题目的是一样的，所以可以看出，┐?x(M(x)∧F(x))和?x(M(x)→┐F(x))是等价的，后面还将给出具体的证明。 ⑷设F(x)：x在北京工作；G(x): x是北京人，则命题符号化为：??x(F(x)→G(x))。这句话也可作如下叙述，“存在着在北京工作的非北京人”，故可符号化为：?x(F(x)∧?G(x))。因为在含义上这句话和题目是一样的。所以可以看出，??x(F(x)→G(x))和?x(F(x)∧?G(x))是等价的，后面也将给出具体的证明。 §4.2一阶语言 1. 一阶语言 2. 解释和赋值 一个公式A的一个解释(Interpretation) I 应由以下四部分组成： ⑴非空个体域D； ⑵公式A中的每个个体常元指定为D中一个特定元素； ⑶公式A中的n元函数指定为Dn到D的一个特定的函数； ⑷公式A中的n元谓词指定为Dn到{0,1}的一个特定的谓词(命题函数)。 3. 公式的分类 设A为一个谓词公式，如果A在任何解释下都是真的，则称A为逻辑有效式（Universal）或称为永真式； 如果A在任何解释下都是假的，则称A为矛盾式（Contradiction）或称为永假式； 若至少存在一个解释使A为真，则称A为可满足式(Satisfable)。 4. 将具体的公式解释和赋值

（教案末页） 本节课小结 1. 全称量词，存在量词，存在唯一量词(2min)； 2. 一阶语言、解释和赋值（2min）； 复习思考题 作业题 课后习题1,3

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第 1 次课 授课时间 2017 年 9 月 14 日 教案完成时间： 2017 年 9 月 10 日 课程名称 离散数学 年 级 专业技术 职 务 2017 级 专业、层次 授课方式 （大、小） 计算机学院(本科) 教 师 讲师 大 学时 2 授课题目（章、节） 基本教材或主要参考书 教学目的和要求： 1.等值演算；前束范式 2.推理定律，推理规则 §4.3 一阶逻辑等值演算，§4.4一阶逻辑形式推理 《离散数学》 刘爱民 北京邮电大学出版社 大体内容与时间安排，教学方法： 1. 介绍等值演算；前束范式，将具体公式化为前束范式(45min)； 2. 介绍推理定律，推理规则，将具体推理符号化并加以证明（45min）； 教学重点、难点： 1. 将公式化为前束范式； 2. 推理的证明

（主要内容题纲） §4.3 一阶逻辑等值演算 1. 等值演算； 设A、B是谓词逻辑中任意的两谓词公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A?B，称“A?B”为谓词逻辑等值式(Equivalent) 定理 量词辖域收缩与扩张等值式。 ⑴①?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B； ②?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B； ③?x(A(x)→B)??xA(x)→B； ④?x(B→A(x))?B→?xA(x)。 ⑵①?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B； ②?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B； ③?x(A(x)→B)??xA(x)→B； ④?x(B→A(x))?B→?xA(x)。 定理 量词分配等值式。 ⑴?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)； ⑵?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)。 其中⑴称为?对∧的分配；⑵称为?对∨的分配。 定理 量词移位等值式。 ⑴?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)； ⑵?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)。 注意 不同名量词间的次序是不可随意变更的。 2. 前束范式， 3.公式化为前束范式 §4.4一阶逻辑形式推理 1. 推理定律， 2. 推理规则， 全称量词消去规则（简称US）： ①?xA(x)?A(y)； ②?xA(x)?A(c)。 全称量词引入规则（简称UG）：A(y)??xA(x)。 存在量词引入规则（简称EG）： ①A(c)??xA(x)； ②A(y)??xA(x) 3. 推理符号化并加以证明；

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