2004年考研数学（一）试题及答案解析(2)

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【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.

【详解1】 设A为m?n矩阵，B 为n?s矩阵，则由AB=O知，

r(A)?r(B)?n.

又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A)

【详解2】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。

同理，由AB=O知，BA?O，于是有BT的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).

TT【评注】 AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O?r(A)?r(B)?n;

2） AB=O?B的每列均为Ax=0的解。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P110例10-11，《数学一临考演习》P79第4题,〈考研数学大串讲〉P173例8, P184例27。

（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足P{X?u?}??，若

P{X?x}??，则x等于

(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? . [ C ]

2【分析】 此类问题的求解，可通过u?的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X??u?}??，于是

1???1?P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?P{X??x}?2P{X?x}

即有 P{X?x}?1??，可见根据定义有x?u1??，故应选(C). 22【评注】 本题u?相当于分位数，直观地有 ? ? (1??)/2

2 o u? u1?? 此类问题在文登学校的辅导班上作为正态分布的一般结论总结过.

1n（14）设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0. 令Y??Xi，则

ni?12 6

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(A) Cov(X1,Y)?(C) D(X1?Y)??2n. (B) Cov(X1,Y)??2.

n?22n?12?. (D) D(X1?Y)??. [ A ] nn【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有：

Cov(X1,Xi)?0,i?2,3,?n.

1n11n【详解】 Cov(X1,Y)?Cov(X1,?Xi)?Cov(X1,X1)??Cov(X1,Xi)

ni?1nni?2 =

11DX1??2. nn【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如

1?n11(1?n)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?3n2n?32???， =

nn2n?111(n?1)22n?12D(X1?Y)?D(X1?X2???Xn)???2? 2nnnnnn2?2n2n?22???. =2nn完全类似的例题见《数学一临考演习》P78第23题（本题是第23题的特殊情况）.

（15）（本题满分12分） 设e?a?b?e, 证明lnb?lna?2224(b?a). e2【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 lnb?lna?2222ln??(b?a),a???b.

设?(t)?lnt1?lnt，则??(t)?， tt22当t>e时， ??(t)?0, 所以?(t)单调减少，从而?(?)??(e)，即

lne22?2?2， ?eeln?故 lnb?lna?224(b?a). e27

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【证法2】 设?(x)?ln2x?4x，则 2elnx4?2， xe1?lnx ???(x)?2, 2x ??(x)?2所以当x>e时，???(x)?0, 故??(x)单调减少，从而当e?x?e时， ??(x)???(e2)?2244??0， 22ee即当e?x?e时，?(x)单调增加.

因此当e?x?e时，?(b)??(a)，

2442b?lna?a， 22ee4故 ln2b?ln2a?2(b?a).

e即 ln2b?【评注】 本题也可设辅助函数为?(x)?ln2x?ln2a?42或 (x?a),e?a?x?e2e?(x)?ln2b?ln2x?42，再用单调性进行证明即可。 (b?x),e?x?b?e2e 完全类似的例题见《数学复习指南》P347例13.31及P344的[解题提示], 《考研数学大串讲》P65例13.

（16）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k?6.0?10). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

注kg表示千克，km/h表示千米/小时.

【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。

【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0?700km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).

根据牛顿第二定律，得

6dv??kv. dtdvdvdxdv又 ???v，

dtdxdtdx m由以上两式得 dx??积分得 x(t)??mdv， kmmv?C. 由于v(0)?v0,x(0)?0，故得C?v0，从而 kk 8

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x(t)?m(v0?v(t)). kmv09000?700??1.05(km). 6k6.0?10当v(t)?0时， x(t)?所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 m所以

dv??kv, dtdvk??dt. vmk?tm两端积分得通解v?Cek?tm，代入初始条件vt?0?v0解得C?v0，

故 v(t)?v0e.

k飞机滑行的最长距离为 x????0mv?tv(t)dt??0emkk??0?mv0?1.05(km). kkk?t?ttkv0?mtdxmm?v0e(e?1)，故最长距离为当t??时，或由，知x(t)??v0edt??0dtmx(t)?kv0?1.05(km). md2xdx【详解3】 根据牛顿第二定律，得 m2??k,

dtdtd2xkdx??0， 2mdtdt其特征方程为 ??故 x?C1?C2e2kk??0，解之得?1?0,?2??， mmk?tm.

kC?t??2emt?0mkdx?0,v? 由 xt?0t?0dtt?0?v0，

?tmv0mv0(1?em). 得 C1??C2?, 于是 x(t)?kkk 当t???时，x(t)?mv0?1.05(km). k所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.

【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t???或v(t)?0的极限值，这种条件应引起注意.

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完全类似的例题见《数学最后冲刺》P98-99例10-11. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 I?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy, ???22其中?是曲面z?1?x?y(z?0)的上侧.

【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接

投影法求解即可.

【详解】 取?1为xoy平面上被圆x?y?1所围部分的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域，则

22I? ????1??2xdydz?2ydzdx?3(z332?1)dxdy

3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy. ???1由高斯公式知

???1z2ydzd?x3(z??2xdyd?332 z?1)dxd?y???6(x2?y2?z)dxdyd? =6?2?0d??dr?011?r20(z?r2)rdz

=12?[r(1?r2)2?r3(1?r2)]dr?2?.

?1012而

??2xdydz?2ydzdx?3(z?1332?1)dxdy??x2?y2?1???3dxdy?3?，

故 I?2??3????.

【评注】 本题选择?1时应注意其侧与?围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在?1上直接投影积分时，应注意符号(?1取下侧，与z轴正向相反，所以取负号).

完全类似的例题见《数学复习指南》P325例12.21，《数学题型集粹与练习题集》P148例10.17（2）, 《数学一临考演习》P38第19题.

（18）（本题满分11分）

设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当??1时，级数

n?x?收敛.

nn?1?【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。 【证】 记

fn(x)?xn?nx?1. 由fn(0)??1?0，fn(1)?n?0，及连续函数的介值定理知，方程

xn?nx?1?0存在正实数根xn?(0,1).

当x>0时，fn?(x)?nxn?1?n?0，可见fn(x)在[0,??)上单调增加, 故方程xn?nx?1?0存在惟一正

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