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2004年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为 y?x?1.
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由y??(lnx)??1?1，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为 x y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.
【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为y?由此可知所求切线方程为y?0?1?(x?1)， 即 y?x?1.
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知f?(e)?xe，且f(1)=0, 则f(x)=
x?xx?x0?1?1，得x0?1，x01(lnx)2 . 2【分析】 先求出f?(x)的表达式，再积分即可。 【详解】 令e?t，则x?lnt，于是有
xlntlnx， 即 f?(x)?. txlnx112 积分得 f(x)??故所求函数为f(x)= (lnx). dx?(lnx)2?C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，
2x2 f?(t)?【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
（3）设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则曲线积分
22?Lxdy?2ydx的值为
3? . 2【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，可表示为 ?22?x?2cos?,?y?2sin?,?20?:0??2.
于是
?2ydx???xdyL[2co?s?2co?s?22sin??2sin?]d?
? =???202sin2?d??3?. 2【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
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完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .
c1c2d2ydy（4）欧拉方程x的通解为 . ?4x?2y?0(x?0)y??dxxx2dx22【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x?e化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令x?et，则
tdydydtdy1dy， ???e?t?dxdtdxdtxdtd2y1dy1d2ydt1d2ydy ??2???2[2?]， 22dtdxxdtxdtdxxdt代入原方程，整理得
d2ydy?3?2y?0， 2dtdt解此方程，得通解为 y?c1e?t?c2e?2t?c1c2?. xx2t【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令x?e，则欧拉方程
d2ydy?bx?cy?f(x)， ax2dxdx2d2ydydy]?b?cy?f(et). 可化为 a[2?dtdtdt 完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数
学大串讲》P75例12.
?210???***（5）设矩阵A?120，矩阵B满足ABA?2BA?E，其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，
????001??则B?
1 . 9*【分析】 可先用公式AA?AE进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得
ABA*A?2BA*A?A， 而A?3，于是有
3AB?6B?A， 即 (3A?6E)B?A，
再两边取行列式，有
3A?6EB?A?3，
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而 3A?6E?27，故所求行列式为B?1. 9【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A*，一般均应先利用公式
A*A?AA*?AE进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9 （6）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?DX}=
1 . e【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知DX? P{X?1?2，于是
??1DX}=P{X?}??1?e??xdx
?? =?e??x??1?1?. e【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把x?0时的无穷小量??的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) ?,?,?. (B) ?,?,?. (C) ?,?,?. (D) ?,?,?. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
??x0costdt,???tantdt,???sint3dt，使排在后面的是前一个
002x2x??lim【详解】 limx?0?x?0????0?x2xtantdtcost2dtx3?lim?x?0tanx?2x?0，可排除(C),(D)选项，
cosx20?又 lim?limx?0?x?0???0x2sintdtsinx??lim?x?03210tantdt2x
2xtanx =
1xlim?2??，可见?是比?低阶的无穷小量，故应选(B). 4x?0xn【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将?,?,?分别与x进行比较，再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.
（8）设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得
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(A) f(x)在（0，?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减少. (C) 对任意的x?(0,?)有
f(x)>f(0) . (D) 对任意的x?(??,0)有
f(x)>f(0) .
[ C ]
【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。
【详解】 由导数的定义，知
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0，
x根据保号性，知存在??0，当x?(??,0)?(0,?)时，有
f(x)?f(0)?0
x即当x?(??,0)时，f(x)
?an?1n???n为正项级数，下列结论中正确的是
? (A) 若limnan=0，则级数
?an?1n收敛.
?（B） 若存在非零常数?，使得limnan??，则级数
n???an?1n发散.
(C) 若级数
2limnan?0. a收敛，则?n?n?1?n??(D) 若级数
?an?1n发散, 则存在非零常数?，使得limnan??. [ B ]
n??【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.
??11【详解】 取an?，则limnan=0，但?an??发散，排除(A)，(D)；
n??nlnnnlnnn?1n?1又取an?1nn，则级数
?an?1?n收敛，但limnan??，排除(C), 故应选(B).
n??2【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，
??an1???0，而级数?发散，因此级数?an也发散，故应选(B). limnan?limn??n??1n?1nn?1n 4
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完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.
（10）设f(x)为连续函数，F(t)??dy?1ttyf(x)dx，则F?(2)等于
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]
【分析】 先求导，再代入t=2求F?(2)即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.
【详解】 交换积分次序，得
F(t)??dy?1ttyf(x)dx=?[?f(x)dy]dx??f(x)(x?1)dx
111txt于是，F?(t)?f(t)(t?1)，从而有 F?(2)?f(2)，故应选(B).
【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: [?b(x)a(x)f(t)dt]??f[b(x)]b?(x)?f[a(x)]a?(x)
否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12，先交换积分次序再求导.
（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为
?010???(A) 100. (B) ????101???010??101?. (C) ????001???010??100?. (D) ????011???011??100?. ????001?? [ D ]
【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。
【详解】由题设，有
?010??100????? A100?B， B011?C， ???????001???001???010??100?????于是， A100011???????001????001???011???C.
A?100????001??可见，应选(D).
【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2
（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.
(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ A ]
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