中考专题复习第15讲辅助线

几何辅助线（图）作法探讨

一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。 典型例题：

例1.如图，a//b,?1?650,?2?1400,则?3?【 】

A.1000 B.1050 C.110 D.1150

例2.已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）

例3.如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；?；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1= ▲ ．

例4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。 （1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。

0例5.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．

二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。 典型例题：

例1. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ▲ ．

例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD．

例3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．

（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

2

三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。 典型例题：

例1.已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角

的余弦值为

例2. 如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，

折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 值为【 】

A．2 B．4 C．25 D．26

000

例3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90，∠CED=45，∠DCE=90， DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的面积．

225 （即cosC=5），则AC边上的中线长是 ▲ ． 55MN的BM

四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。 典型例题：

例1. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ▲ 。

例2. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】

A．4 B．3 C．2 D．1

例4. （2011广西南宁3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝15o，AB＝8，则AC·BC的值为【 】

A．14 B．163 C．415 D．16

例5. （2011山东济南3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90o，AC＞BC，分别以AB、BC、

CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是【 】

A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1

例6. （2011山东德州8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． （1）求证AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

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