MATLAB仿真实现图像去噪(4)

的像素灰度一般是光滑的，只有在图像轮廓细节处像素才会突变，所以可以用具有低通的滤波对图像进行平滑，不过在平滑的同时亦会使图像变得模糊。这是用低通滤波器对图像进行平滑难于解决的矛盾。如果要噪声平滑效果好，必然会引起图像模糊，要图像轮廓清晰，噪声平滑效果必然不好。在使用时，必须权衡得失，在两者中选择其一。各种低通滤波器的性能比较如表2-1所示:

表2-1 各种低通滤波器的性能比较

理想低通滤波器 巴特沃斯滤波器 指数低通滤波器 振铃程度 严重 无 无

图像模糊程度 严重 很轻 较轻 噪声平滑程度 最好 一般 一般 由上述经典去噪方法要么完全在频率域，要么完全在空间域展开。这两类消噪方法造成了顾此失彼的局面，虽然抑制了噪声，却损失了图像边缘细节信息，造成图像模糊[9]。因此，提出了基于小波变换的去噪方法研究。小波分析由于在时域频域同时具有良好的局部化性质和多分辨率分析的特点，能有效地把信号和噪声区别开来，因此不仅能满足各种去噪要求如低通、高通、陷波、随机噪音的去除等，而且与传统的去噪方法相比较，有着无可比拟的优点，成为信号分析的一个强有力的工具，被誉为分析信号的数学显微镜。

2.2 小波去噪

近年来，小波理论得了非常迅速的发展，由于其具备良好的时频特性和多分辨率特性，小波理论成功地在许多领域得到了广泛的应用。现在小波分析已经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等领域。在图像去噪领域中，应用小波理论进行图像去噪受到许多专家学者的重视，并取得了非常好的效果。

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2.2.1 小波去噪的发展历程

1992年，Donoho和oJhnostne提出了小波阈值收缩方法(Wavelet Shrinkage)，同时还给出了小波收缩阈值??2lnN?，并从渐近意义上证明了它是小波收缩最佳阈值的上限[11]。以上小波收缩算法的一个严重的缺陷是:在去噪之前必须知道噪声的大小?(方差)。而在实际应用中噪声大小是无法预先知道的，于是Maarten Jasen等提出了GCV(generalized cross validation)方法[12]，这种方法无需知道噪声大小的先验知识，较好地解决了这一问题。另外，由于Donoho和Johnstone给出的阈值有很严重的“过扼杀”小波系数的倾向，因此人们纷纷对阈值的选择进行了研究[20一30]，并提出了多种不同的阈值确定方法。后来，人们针对阈值函数的选取也进行了一些研究，并给出了不同的阈值[13-16]；但是当这些方法用到非高斯、有色噪声场合中，效果却不甚理想，其最主要的原因是这些方法都基于独立同分布噪声的假设，并且这些方法大多是从Donoho和Johnstone给出的方法发展而来的，从而它们最后的去噪性能也依赖于用wavelet shrinkage确定阈值时，对噪声服从独立正态分布的假设。对此，人们提出了具有尺度适应性的阈值选取法，用来解决正态分布有色噪声的小波去噪问题，而另外一些学者则研究了在比白噪声更严重的噪声情况下的小波去噪问题，并给出了显式的阈值公式[17]。

目前，基于阈值收缩的小波去噪方法的研究仍然非常活跃，近来仍不断有新的方法出现，而且也可以看出，人们的研究方向已经转为如何最大限度地获得信号的先验信息[18]，并用这些信息来确定更合适的阈值或阈值向量，以达到更高的去噪效率。另外，除了阈值收缩方法外，Kivnac，John和Xu等人还提出了不同的去噪方法[l9]，例如利用LiPschitz指数的方法和基于最大后验概率MAP的比例收缩法等，这些都丰富了小波去噪的内容。

2.2.2小波去噪的研究现状

在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为：

?opt?argmin???f??fs?

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fopt??opt?f??opt代表最优解?

f?fs?fn,fs为原图像,fn为噪声图像 I?ff为实际图像，W?span??2j?j?1,?2J

J????T???为I?W的函数空间影射

??由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图2-2所示。

图2-2 小波去噪的等效框图

在早期，人们通过对边缘进行某些处理，以缓解低通滤波产生的边缘模糊。在这一点上，虽然这种方法同小波去噪很相似，但是小波变换之所以能够很好地保留边缘，是因为小波变换的多分辨率特性，小波变化后，由于对应图像特征(边缘等) 处的系数幅值变大，而且在相邻尺度层间具有很强的相关性，所以便于特征提取和保护。相对早期的方法而言，小波噪声对边缘等特征的提取和保护是有很强的数学理论背景的，因而便于系统的理论分析。在许多国内外研究学者的努力下，小波去噪技术在信号处理领域中不断得到发展和完善。早期的小波去噪工作类似有损压缩技术，即先对含噪信号进行正交小波变换，再选定一个固定的阈值与小波系数比较进行取舍，低于此阈值的小波系数设为零，然后进行小波重构恢复原信号，上述算法中的阈值选取完全取决于经验和实际应用[24-28]。

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1992年，由S.Mallat和Zhong提出了小波模极大值方法[40]，具体来说，就是利用有用信号与噪声小波变换的模极大值在多尺度分析中呈现不同的奇异性，用计算机自动实现由粗到精的跟踪并消除各尺度下属于噪声的模极大值，然后利用属于有用信号的模极大值重构小波，模极大值方法可使信噪比提高4-7dB。由于受到各种因素的干扰，这种跟踪是很困难的，在实际工作中需要一些经验性的判据。奇异点重建信号分为过零点重建小波变换和模极大值重建小波变换，其缺点:用过零点或极大值来重建信号只是一种逼近，结果不太精确。

1995年，Stanford大学的学者D.L.Donoho和M.Johnstone提出了通过对小波系数进行非线性阈值处理来恢复噪声中的信号[24-27]，称为“小波收缩”。在此基础上，他们提出了软阈值和硬阈值的准则，并从统计学的角度出发，不断完善这一理论。他们算法的去噪效果超过了一般的线性去噪技术，算法中的阈值选取取决于噪声能量的大小，换句话说，是取决于带噪信号的信噪比的。和固定阈值算法一样，分解后的每一层小波系数和这一阈值比较后进行非线性处理，要么保留或收缩，要么归零。有文献表明[34]，与Mallat的模极大值法相比较，阈值法去噪后有噪信号的信噪比提高10dB以上，实验结果表明，阈值法去噪效果优于模极大值法，而且实现起来更为简单。

这之后的小波去噪方法主要是从阈值函数的选择或最优小波基的选择出发，提高去噪的效果。比较有影响的方法有：Eero P.Se moncelli和E H.Adelson提出的基于最大后验概率的贝叶斯估计准则确定小波阈值的方法[31]。Elwood T.Olsen等在处理断层摄影图像时，提出了三种基于小波相位去噪方法：边缘跟踪法、局部相位方差阈值和尺度相位变动阈值法[32]；学者Kozaitis结合小波变换和高阶统计量的特点，提出对一维信号进行去噪和信号重建的基于高阶统计量的小波阈值去噪方法[33]；G.P.Nason等利用原图像和小波域图像的相关性用GCV(general cross vali-dation)法对图像进行去噪

[34]

.Huang.X和Woolsey等

提出结合维纳滤波器和小波阈值的方法对信号进行去噪[35],VasilyStrela等人将一类新的特性良好多小波(约束对)应用于图像去噪的方法[34]，这些方法均取得了良好的效果，对发展小波去噪的理论和应用起着重大的作用。

2.2.3 小波去噪方法

小波去噪的方法有多种，如利用小波分解与重构的方法滤波降噪、利用小波

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变换模极大值的方法去噪、利用信号小波变换后空域相关性进行信噪分离、非线性小波阈值方法去噪、平移不变量小波去噪法，以及多小波去噪等等。归结起来主要有三类:模极大值检测法、阈值去噪法和屏蔽(相关)去噪法。其中最常用的就是阈值法去噪，本文主要研究阈值去噪。

第三章 小波变换理论基础

3.1 从傅里叶变换到小波变换

傅立叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号f?x?的傅立叶变换F?w???f?x?e?iwxdx表示信号的频谱。正是傅立叶变换的这种重要

????的物理意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅

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