初中数学精英培养计2(5)

精英培养计划B方案

分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算

将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．

解 由于

所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

练习

1．计算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

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(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100； (3)199131999-199032000；

(4)4726342+472 6352-472 6333472 635-472 6343472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

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例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，?这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数． 第一层有点数：1；

第二层有点数：136； 第三层有点数：236； 第四层有点数：336；

??

第n层有点数：(n-1)36.

因此，这个点阵的第n层有点(n-1)36个．n层共有点数为

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例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？ (2)这n个圆共有多少个交点？

分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

由表18．1易知

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S2-S1=2， S3-S2＝3， S4-S3＝4， S5-S4＝5， ??

由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，

因为S1=2，所以

面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

下

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