数学模型第三版（高等教育出版社）课后习题答案(7)

2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？

答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.

3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.

答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：CI???nn?1．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根

?=n．

第九章（2008年12月18日）

1．在9.1节传送带效率模型中,设工人数n固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．

解：两种情况的钩子数均为2m．第一种办法是2m个位置，单钩放置2m个钩子；第二种办法是m个位置，成对放置2m个钩子．

① 由9.1节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为

n2m??1?? D??? ?1??1?n?2m????? 当

n较小，n??1时，有 2m第一章作业解答第 31 页 共 58 页

D?2m??1n?n?1???n?1 1?1???1?????2n??2m8m??4mn 4m

D?1?E ， E? ② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：

对于m个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m个钩对．

1； m1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1?；

m11 记p?,q?1?．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空

mm 任一只钩对被一名工人接触到的概率是

的概率为qn，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npqn?1，其空钩数为m．所以一个周期内通过的2m个钩子中，空钩的平均数为 2m?qn?m?npqn?1?m2qn?npqn?1

??于是带走产品的平均数是 2m?m2qn未带走产品的平均数是 n???npqn?1，

n??2m?m?2q??npqn?1）

?? ?此时传送带效率公式为

nn?12m?m2qn?npqn?1m?n?1???1???2?2?1????1??? D'?nn??m?m?m????? ③ 近似效率公式：

nn?n?1?1n?n?1??n?2?1?1?由于 ?1???1?? ?23m2m6m?m?n?1? ?1???m?n?1?1?n?1?n?1??n?2?1 ?m2m2? D'?1??n?1??n?2?

6m2n2当n??1时，并令E'?1?D'，则 E'? 26m④ 两种办法的比较：

第一章作业解答第 32 页 共 58 页

n2n 由上知：E?，E'? 24m6m ?

E'/E?2n2n?1， ? E'?E． ，当m?n时，

3m3m所以第二种办法比第一种办法好．

《数学模型》作业解答

第九章（2008年12月23日）

一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r是一随机变量，其概率分布如下表： 售出报纸数r（百份） 概率P(r) 0 0．05 1 0.1 2 0.25 3 0.35 4 0.15 5 0.1 试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n百份纸，则收益函数为

?7r?(?4)(n?r)r?n f(r)??7nr?n?收益的期望值为G(n) =

?(11r?4n)P(r)+7n?P(r)

r?0n?r?n?1现分别求出

n=0,1,2,3,4,5时的收益期望值.

G(0)=0；G(1)=?4×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (?8?0.05?3?0.1?14?0.25)?14?(0.35?0.15?0.1)?11.8;

G(3)=(?12?0.05?1?0.1?10?0.25?21?0.35)?21?(0.15?0.1)?14.4 G(4)=(

?16?0.05?5?0.1?6?0.25?17?0.35?28?0.15)?28?0.1?13.15

?10.25

G(5)=?20?0.05?9?0.1?2?0.25?13?0.35?24?0.15?35?0.1 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.

数模复习资料

第一章

第一章作业解答第 33 页 共 58 页

1. 原型与模型

原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.

??直观模型形象模型???物理模型??模型??思维模型??抽象模型?符号模型??数学模型???2. 数学模型

如玩具、照片等如某一试验装置 如某一操作如地图、电路图对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学

d2x结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式F?m来描

dt2述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口N方程

?t?随时间t自由增长过程的微分

dN?t??rN?t?. dt所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对

3. 数学建模

于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.

数学建模过程流程图为： 实际问题 抽象、简化、假设 确定变量、参数 归结 数学模型 数学地、数值地

求解模型 估计参数

否 检验模型 (用实例或有关知识) 4.数学建模的步骤

依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 5.数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：

第一章作业解答第 34 页 共 58 页

是 符合否？ 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益

?人口模型??交通模型?环境模型（污染模型）??a. 按模型的应用领域分类 数学模型 ?生态模型

?城镇规划模型??水资源模型???再生资源利用模型b. 按建模的数学方法分类

?初等数学模型??几何模型?微分方程模型?? 数学模型 ?图论模型

?组合数学模型??概率模型???规划论模型?描述模型??分析模型??预报模型c. 按建模目的来分类 数学模型 ?

?优化模型?决策模型???控制模型d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验

e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为n f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法

4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.

解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为x轴，用中心点的转角?表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为

f(?);C、D与地面距离之和记为

g(?).并旋转1800.于是，设f(0)?0,g(0)?0,就得到g????0,f????0.

数学模型：设

f???、g???是?0,2??上?的非负连续函数.若????0,2??,有

第一章作业解答第 35 页 共 58 页

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