数学模型第三版（高等教育出版社）课后习题答案

《数学模型》作业解答

第二章(1)（2008年9月16日）

1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们

要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法；

（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： A B C

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

1 2 3 4 5 235 117.5 78.3 58.75 ? 333 166.5 111 83.25 ? 432 216 144 108 86.4 p1?235, p2?333, p3?432, ?pi?1000.

i?13 方法一（按比例分配）

q1?p1N?pi?13?2.35, q2?p2Ni?pi?13?3.33, q3?p3Ni?pi?13?4.32

i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4

方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?2, n2?3, n3?4

第一章作业解答第 1 页 共 58 页

第10个席位：计算Q值为

235233324322Q1??9204.17, Q2??9240.75, Q3??9331.2

2?33?44?5Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1?2, n2?3, n3?5

方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配结果为：n1此方法的道理是：记

?2, n2?3, n3?5

pi是nipi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.?1,2,?,从而得到的

每席位代表的人数，取ni近.

再考虑N表如下：

pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列?15的分配方案，

宿舍 （1） （2） （3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 （1） （2） （3） 4 4 3 5 5 5 6 6 7 15 15 15 总计 10 10 10

2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.

考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得

?t0vdt?2?k?(r?wkn)dn

0n2?rk?wk22n2? vt?2πk(r n ?wk) ? t?n?n.

2vv 第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车

第一章作业解答第 2 页 共 58 页

获得的功率P与v、S、?的关系. 解: 设P、v、S、?的关系为[P]=MLT2?3f(P,v,s,?)?0， 其量纲表达式为:

2?3, [v]=LT?1,[s]=L,[?]=ML,这里L,M,T是基本量纲.

量纲矩阵为：

?21?10A=????3?1(P)(v)

齐次线性方程组为：

200(s)?3?(L)1??(M) 0??(T)(??2y1?y2?2y3?3y4?0? ?y1?y4?0??3y?y?012?它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲Pi定理得

??P?1v3s1?1， ?P??v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数.

16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系

数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,g 的关系为

-2

-1-1

-1-2

-30

[?]=LMT，f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，-2-2

-1

-1

0-2

[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲.

量纲矩阵为

?1?3?11?(L)?0110?(M)?A=?

???10?1?2(T)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组Ay=0 ，即

? y1-3y2-y3?y4?0??y2?y3 ?0 ?-y -y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲Pi定理 得

*??v?3??1?g. ?v??3?g，其中?是无量纲常数. ?16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘

第一章作业解答第 3 页 共 58 页

滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,?，g 的关系为

0-1

-3

0

f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为

-2

-1-1

-1-2

-2-2

-1

-1

0-2

[v]=LMT，[?]=LMT，[?]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT，[?]=LM0T0 ，[g]=LMT 其中L，M，T是基本量纲. 量纲矩阵为

?1?0A=????1(v)齐次线性方程组Ay=0 即

100(?)?310(?)?11?(L)10??(M) ?1?2??(T)(?)(g)?y1?y2?3y3?y4?y5?0?y3?y4?0 ???y1?y4?2y5?0? 的基本解为

11?y?(1,?,0,0,?)?122

??y2?(0,?3,?1,1,?1)22?得到两个相互独立的无量纲量

??1?v??1/2g?1/2 ??3/2?1?1/2?????g?2即

?1) v??g?1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2 ? ??

?g?(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为

f(t,l,m,g,k)?0

其量纲表达式为：

[t]?L0M0T,[l]?LM0T0,[m]?L0MT0,[g]?LM0T?2,[k]?[f][v]?1?MLT?2(LT?1)?1?L0MT?1， 其中L，M，T是基本量纲.

第一章作业解答第 4 页 共 58 页

量纲矩阵为

?0?0A=???1(t)100100(l)(m)10?(L)01??(M) ?2?1??(T)(g)(k)齐次线性方程组

y2?y4?0??y3?y5?0 ??y?2y?y?045?1的基本解为

11?Y?(1,?,0,,0)?122 ?11?Y2?(0,,?1,?,1)22?得到两个相互独立的无量纲量

?tl?1/2g1/2??1?1/2?1?1/2?lmgk??2

lkl1/2?1, ?1??(?2), ?2?1/2 ∴t?gmglkl1/2∴t??() ，其中?是未定函数 .

gmg1/2 考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

l?kl?1/2t,t；l,l;m,m. 又t???(1/2)

gm?g'''当无量纲量

m?l?t?l?gl??时， 就有 ?. ??mltgll《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

第一章作业解答第 5 页 共 58 页

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数学模型第三版（高等教育出版社）课后习题答案在线全文阅读。