求函数极值的若干方法 论文(2)

绵阳师范学院2014届本科毕业论文（设计）

2?b4ac?b??. ??,4a??2a4ac?b2当a?0时, 该坐标值f?x??就是极小值.

4a4ac?b2当a?0时，该坐标值f?x?? 即为极大值.

4a 例1 某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件。（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？ 答案：(1) （130-100）×80=2400（元） （2）设应将售价定为x元，则销售利润

130?x??y??x?100??80?x20?5????4x2?1000x?6000??4?x?125??2500当x=125时，y有最大值2500.

所以应将售价定为125元最大销售利润是2500元 1.2.2 一般函数

2.

定理1：设函数g?x?在点x0处是连续的，在x0的某个邻域内是可求导的. (1)当x?U??x0;??时，所有的x都满足g??x??0；当x?U??x0;??时，所有的x 都满足g??x??0，如果上述两个条件都成立时，那么我们得出g?x?在x0处可以取到极小值.

(2)当x?U??x0;??时，所有的x都满足g??x??0，而当x?U??x0;??时，所有的x都满足g??x??0，如果上述两个条件也都成立时，那么我们就可以得出

g?x?在x0处可以取到极大值.

(3)当x?U?x0;??时，g??x?的符号一直不会改变，即所有的x?U?x0;??都满足g??x??0或所有的x?U?x0;??都满足g??x??0，那么在这种情况下，我们可以得出g?x?在点x0不能取到极值.

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定理2：设函数g?x?在点x0处存在二阶的导数，如果g?x?满足g??x?=0且

g???x??0，那么g?x?可以取到极值.

(1)当g???x0??0时，则我们可以在点x0取到极小值，x0就叫做g?x?的极小值点.

(2)当g???x0??0时，x0就叫做g?x?的极大值点，g?x?在点x0可以取到极大值.

定理3：设函数g?x?在x0的某个邻域x?U?x0;??内存在着直到n?1阶的导函数，

nn?1）在点x0处n阶是可以求导的，并且成立g?k??x0??0（1，2，?，，g???x0??0，

那么,

(1)当n为偶数的时候，g?x?在点x0处可以取到极值，并且如果g?n??x0??0 我们可以在点x0处取到极小值，如果g?n??x0??0 时，极大值在点x0取到. (2)当n为奇数的时侯，在这种情况下g?x?在点x0处的极值我们是取不到的.

例2：求函数h?x??ex?e?x?2cosx的极值. 解 对原函数求一阶导得，

h??x??ex?e?x?2sinx，

令 h??x??0， 得到驻点，

x?0，

如果用定理1，我们无法判别，继续求导,有

h???x??ex?e?x?2cosx，h???x??0,

这时发现定理2条件也不满足，再进行求导,有

h????x??ex?e?x?2sinx，h????x??0，

继续求导，得，

h?4??x??ex?e?x?2cosx,h?4??0??4?0.

由定理3，知：h?4??0??4?0，导数第一个不是零的阶数n?4，它是偶数的，

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因此这个函数我们是可以取到极值的，而且可以进一步断定是极小值. 1.2.3 一般函数求极值的步骤

对于一元函数y?f(x),求极值的步骤是: (1) f(x)的导数f?(x)

点; (2) 解方程f?(x)?0,求出f(x)在定义域内的所有稳定 (3) 找出f(x)的定义域内的所有导数不存在的点；

(4) 利用极值存在的充分条件考察每一个稳定点和不可导点是否为极值点，

是极大值点还是极小值点. (5) 求出各极值点的极值.

2二元函数极值问题 2.1 二元函数极值的定义

设函数g?x,y?在点P0?内有定义，如果对于任何的0?x0,y0?的某个邻域U?P点P?x,y??U?P0?，都有不等式g?P??g?P0?（或者g?P??g?P0?）成立，那么就称函数g?x,y?在P0点取得极小值（或极大值），点P0叫作g?x,y?的极小（或极大）值点.我们把极小值和极大值都叫做极值.

备注：在这里讨论的函数极值都只是限定于定义域里的内点.

2.2关于求二元函数极值的方法

定理4：如果函数g?x,y?在P0?x0,y0?处存在偏导数，而且函数g?x,y?在

P0?x0,y0?处取得极值，那么有

Px?x0,y0??0，Py?x0,y0??0.

我们就把P0?x0,y0?叫做是g?x,y?的稳定点.

定理5：如果二元函数g?x,y?满足在P0?内具有二0?x0,y0?点处的某邻域U?P阶的偏导数且是连续的，而且P那么当Hg?P0?x0,y0?是g?x,y?的稳定点，0?是正定的矩阵的时候，可以判定g?x,y?在P0?x0,y0?处取到极小值；当 Hg?P0?判定是负定的矩阵的时候，g?x,y?在P0?x0,y0?处可取到极大值；当 Hg?P0?是不定

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?gxx?P0?gxy?P0??HP?矩阵，g?x,y?在P处不取得极值，其中x,y?g?0?0?00??g?P?g?P???.

?xy0yy0??0?，定理6：如果二元函数g?x,y?满足以上定理5的条件，令A?g?xx?P?0?，C?g??0?. B?g?xy?Pyy?P(1)若AC?B2?0，A?0，则g?x,y?在P0?x0,y0?处可取到极小值，若

AC?B2?0，A?0，则g?x,y?在P0?x0,y0?处可取到极大值.

(2)若AC?B2?0，则g?x,y?在P0?x0,y0?处极值不能取到.

(3)若AC?B2?0，则g?x,y?在P0?x0,y0?处能不能取到极值我们不能判断出来.

例3求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．

分析: 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 解: 先求函数的一、二阶偏导数：

?z?2z?z?2z?2z2?3x?2y，?2y?2x．2?6x, ??2, 2?2． ?x?y?x?x?y?y?3x2?2y?0,?z?z再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组?

?x?y?2y?2x?0.22（，）求得驻点(0，0)、． 33(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B2－AC?0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点．

22（，）(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－4?0, 且A?0,则 33224f（，）?? 为函数的一个极小值． 3327 例4 （2004数学一）设z=z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和极值.

分析: 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。

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解: 因为 x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0， 所以

2x?6y?2y?z?z?2z?0， ?x?x ?6x?20y?2z?2y?z?z?2z?0. ?y?y??z?0,???x令 ? 得

?z??0???yx?3y?0,? ???3x?10y?z?0,故

?x?3y, ?z?y.?将上式代入x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0， 可得

?x?9,??y?3, 或 ?z?3??x??9,??y??3, ?z??3.??2z?z2?2z由于 2?2y2?2()?2z2?0，

?x?x?x?z?2z?z?z?2z?6?2?2y?2??2z?0,

?x?x?y?y?x?x?y?z?z?2z?z2?2z20?2?2?2y2?2()?2z2?0，

?y?y?y?y?y?2z所以 A?2?x1?2z?，B?(9,3,3)6?x?y1?2z??，C?2(9,3,3)2?y(9,3,3)?5， 3故AC?B2?11?0，又A??0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点， 366极小值为z(9,3)=3.

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