求函数极值的若干方法 论文

绵阳师范学院2014届本科毕业论文（设计）

绵阳师范学院

本科生毕业论文（设计）

题 目 求函数极值的若干方法 专 业 数学与应用数学 院 部 数学与计算机科学学院 学 号 1008021114 姓 名 肖 华 指 导 教 师 王敏 讲师 答 辩 时 间 二〇一四年五月

论文工作时间： 2013 年 12月 至 2014 年 5月

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求函数极值的若干方法

学生：肖华 指导教师：王敏

摘 要：函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.

关键词：函数极值 充分条件 乘数法

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Several methods for the extreme of the function

Name: Xiaohua Advisor: Wangming

Abstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our daily life may also have wide applications. A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and solving methods of the extreme of the unary function and binary function , which making the process of the calculation concise, and presents some related examples.

Keywords: the extreme of the function sufficient conditions method of multiplier

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目 录

绪论................................................................................................................................ 1 1一元函数极值问题..................................................................................................... 1

1.1 一元函数极值的定义..................................................................................... 1 1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法................................................. 1 1.2.1 二次函数：.................................................................................................. 1

1.2.2 一般函数.............................................................................................. 2 1.2.3 一般函数求极值的步骤...................................................................... 4

2二元函数极值问题..................................................................................................... 4 2.1 二元函数极值的定义............................................................................................. 4

2.2关于求二元函数极值的方法.......................................................................... 4

2.2.1二元函数无条件极值........................................................................... 7 2.2.2拉格朗日乘数法................................................................................... 8 2.2.3其它方法............................................................................................. 10

3.函数极值的应用....................................................................................................... 11

3.1函数极值在不等式证明中的应用................................................................ 11 3. 2函数极值在物理学中的应用....................................................................... 13 3.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用.................................... 14 结束语.......................................................................................................................... 16 致 谢.......................................................................................................................... 17

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绪论

“函数极值”是当代数学研究的主要内容之一，在中学和大学当中都占有重要地位。为进一步研究有关函数极值在不同的情况下的求值问题，特别是当函数是一元、二元或者多元函数极值问题的解决。

目前在有关的研究中都有关于函数极值的讨论，并在不少的学报及学术性论文中都有关于函数极值问题的有关见解，本文将通过函数极值和函数最值的相关理论、区别、联系及极值最值的求解方法，系统的阐述函数极值最值，这一重要而且基础的函数性质，并让大家意识到部分极值最值问题是与实际问题有着密不可分的关系。然后运用给出的函数极值和最值知识，解决生活实际中的应用问题。

1一元函数极值问题

1.1 一元函数极值的定义

设函数g?x?在x0的一个邻域内有定义,如果对于这个邻域内的不同于x0的所有的x都有以下不等式成立，即g?x0??g?x?，那么我们就把g?x0?称为函数g?x?的极小值, x0就是g?x?的极小值点; 反过来，如果g?x0??g?x?，那么我们就把g?x0?称为g?x?的极大值，x0就是g?x?的极大值点.无论是函数的极小值还是极大值，我们都把它们叫做函数的极值.极值点有两类，分别为极小值点和极大值点.

1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法 1.2.1 二次函数

在中学数学中我们曾讲了二次函数f?x??ax2?bx?c的图象是一条抛物线, 从所学的图象中可以很清楚地分析出：

当a?0时，函数的图象抛物线开口向上, 它的纵坐标由递减变为递增，从而这个顶点的纵坐标就相当于极小值.

当a?0时, 函数的图象抛物线开口向下, 它的纵坐标由递增变为递减，从而这个顶点的纵坐标就相当于极大值.

因此, 想要求得二次函数f?x??ax2?bx?c的极大值或者极小值只需要求得这个该函数的顶点坐标?x,y?即可 ，于是用配方法将f?x??ax2?bx?c写成如

b?4ac?b2?下形式f?x??a?x???，则该二次函数的顶点坐标是

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