信号与系统实验报告3实验3 傅里叶变换及其性质

信息工程学院实验报告

课程名称：

成 绩： 实验项目名称：实验3 傅里叶变换及其性质 实验时间：2015/11/17 班级：通信141 姓名： 学号：201411402115 指导老师(签名)： 一、实 验 目 的:

学会运用MATLAB求连续时间信号的傅里叶（Fourier）变换；学会运用MATLAB求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。

二、实 验 设 备 与 器 件 软件：Matlab 2008 三、实 验 原 理 3.1傅里叶变换的实现

信号f(t)的傅里叶变换定义为： F(?)?F[f(t)]?傅里叶反变换定义为：f(t)?F[F(?)]??1????f(t)e?j?tdt，

12?????f(?)ej?td?。

信号的傅里叶变换主要包括MATLAB符号运算和MATLAB数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB符号运算求解法

MATLAB符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。Fourier变换的语句格式分为三种。

（1）F=fourier(f)：它是符号函数f的Fourier变换，默认返回是关于?的函数。

（2）F=fourier(f,v)：它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的

?，即

F(v)?????jvtf(t)?edt 。

（3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数，即

F(v)?????f(t)e?jvudu。

傅里叶反变换的语句格式也分为三种。

（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F的Fourier反变换，独立变量默认为?，默认返回是关于x的函数。

（2）f=ifourier(F,u)：它返回函数f是u的函数，而不是默认的x。

（3）f=ifourier(F,u,v)：是对关于v的函数F进行反变换，返回关于u的函数f。

值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym函数所定义的符号变量或者符号表达式。

3.1.2连续时间信号的频谱图

信号f(t)的傅里叶变换F(?)表达了信号在?处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅里叶变换的物理含义。F(?)一般是复函数，可以表示成F(?)?F(?)ej?(?)。F(?)~?与?(?)~?曲

线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱，它们都是频率?的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点，密度谱和连续谱。要注意到，采用fourier()和ifourier() 得到的返回函数，仍然是符号表达式。若需对返回函数作图，则需应用ezplot()绘图命令。

3.1.3 MATLAB数值计算求解法

fourier( )和ifourier( )函数的一个局限性是，如果返回函数中有诸如单位冲激函数?(t)等项，则用ezplot()函数无法作图。对某些信号求变换时，其返回函数可能包含一些不能直接用符号表达的式子，因此不能对返回函数作图。此外，在很多实际情况中，尽管信号f(t)是连续的，但经过抽样所获得的信号则是多组离散的数值量f(n)，因此无法表示成符号表达式，此时不能应用fourier()函数对f(n)进行处理，而只能用数值计算方法来近似求解。

从傅里叶变换定义出发有F(?)?????f(t)e?j?tdt?lim?f(n?)e?j?n??，

??0???当?足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。对于时限信号f(t)，或者在所研究的时间范围内让

f(t)衰减到足够小，从而近似地看成时限信号，则对于上式可以考虑有限n的取值。假设是因果信号，则

有

F(?)???f(n?)e?j?n?,n?0M?10?n?M?1

傅里叶变换后在?域用MATLAB进行求解，对上式的角频率?进行离散化。假设离散化后得到N个样值，即 ?k?2?k,N?0?k?N－1，

M?1因此有 F(k)???f(n?)en?0?j?kn?,0?k?N?1。采用行向量，用矩阵表示为

?j?kn?TTT[F(k)]1]M*N。其要点是要正确生成f(t)的M个样本向量[f(n?)]与向量*N??[f(n?)]1*M[e[e?j?kn?]。当?足够小时，上式的内积运算（即相乘求和运算）结果即为所求的连续时间信号傅里叶变换

的数值解。

3.2傅里叶变换的性质

傅里叶变换的性质包含了丰富的物理意义，并且揭示了信号的时域和频域的关系。熟悉这些性质成为信号分析研究工作中最重要的内容之一。 3.2.1 尺度变换特性

傅里叶变换的尺度变换特性为：若f(t)?F(?)，则有f(at)?1?F()，其中，a为非零实常数。 aa3.2.2频移特性

傅里叶变换的频移特性为：若f(t)?F(?)，则有f(t)ej?0t?F(???0)。频移技术在通信系

统中得到广泛应用，诸如调幅变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频移的实现原理是将信号

f(t)乘以载波信号cos?0t或sin?0t，从而完成频谱的搬移，即

1f(t)cos?0t?[F(???0)?F(???0)]2

jf(t)sin?0t?[F(???0)?F(???0)]2四、实 验 内 容 与 步 骤

4.1试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶变换，并绘出其幅度谱和相位谱。

2sin2?(t?1)?sin(?t)? （1）f1(t)? （2）f2(t)?? ??(t?1)?t?? 4.2试用MATLAB命令求下列信号的傅里叶反变换，并绘出其时域信号图。

2104? （2）F2(?)?e?4? 3?j?5?j? （1）F1(?)?

4.3试用MATLAB数值计算方法求门信号的傅里叶变换，并画出其频谱图。

t??/2t??/2，其中??1。

??1,门信号即g?(t)????0, 4.4已知两个门信号的卷积为三角波信号，试用MATLAB命令验证傅里叶变换

的时域卷积定理。 5.问题与思考

傅里叶变换的其他性质可以用类似的方法加以验证，试举一例，说明你验证过程的思路。

解：4.1（1） MATLAB源程序为： clear;clc;

ft=sym('sin(2*pi*(t-1))/(pi*(t-1))'); Fw = fourier(ft); subplot(211)

ezplot(abs(Fw),[-5*pi 5*pi]);grid on title('幅度谱');

phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212)

ezplot(phase);grid on title('相位谱');

4.1（2） MATLAB源程序为：

clear;clc;

ft = sym('(sin(pi*t)/(pi*t))^2'); Fw = fourier(ft); subplot(211)

ezplot(abs(Fw));grid on

title('幅度谱');

phase = atan(imag(Fw)/real(Fw)); subplot(212)

ezplot(phase);grid on title('相位谱');

4.2（1） MATLAB源程序为：

clear;clc; t=sym('t');

Fw= sym('10/(3+i*w)-4/(5+i*w)'); ft = ifourier(Fw); ezplot(ft),grid on 4.2（2） MATLAB源程序为： clear;clc; t=sym('t');

Fw = sym('exp(-4*(w^2))'); ft = ifourier(Fw); ezplot(ft),grid on 4.3 MATLAB源程序为：

clear;clc;

ft1=sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)'); subplot(121);

ezplot(ft1,[-pi pi]),grid on Fw1 = simplify(fourier(ft1)); subplot(122);

ezplot(abs(Fw1),[-10*pi 10*pi]), grid on axis([-10*pi 10*pi -0.2 1.2]); 4.4两个门信号卷积成为三角波信号的实验程序代码：

clear;clc;

dt = 0.01; t = -1:dt:2.5; f1 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2); f2 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2); f = conv(f1,f2)*dt; n =length(f);

tt = (0:n-1)*dt-2;

subplot(211), plot(t,f1),grid on; axis([-1, 1, -0.2,1.2]);

title('f1(t)'); xlabel('t');

subplot(212), plot(tt,f),grid on; axis([-2, 2, -0.2,1.2]);

title('f(t)=f1(t)*f2(t)'); xlabel('t'); 两个门信号卷积成为三角波信号的实验结果如图6所示：

图6

三角波信号傅里叶变换的实验程序代码：

clear;clc; dt = 0.01; t = -4:dt:4;

ft=(t+1).*uCT(t+1)-2*t.*uCT(t)+(t-1).*uCT(t-1); N = 2000; k = -N:N;

W = 2*pi*k/((2*N+1)*dt); F = dt * ft*exp(-j*t'*W); plot(W,F), grid on

axis([-10*pi 10*pi -0.2 1.2]); xlabel('W'), ylabel('F(W)')

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