分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例如：
2x?2?xx?2最简公分母就是?x?2??x?2?。
“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如：
2x?2?xx2?4最简公分母就是?x?4??x?2??x?2??
2“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。
x2?x?2?2x?x?2?例如：?最简公分母是：2x?x?2?
这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。 例1：分式
1,12m?nm2?n22,2m?n的最简公分母是（ ）
222A．(m?n)(m?n) B．(m?n) C．(m?n)(m?n) D．m?n 例2：对分式
y2x222，
x3y2，
14xy通分时， 最简公分母是（ ）
２
２
２
２
A．２４xy
2３
B．１２ｘｙ Ｃ．２４ｘｙ Ｄ．１２ｘｙ
x?1x?x22例3：下面各分式：
A. 4
例4：分式
1a2,
x?yx?y22,
?x?1x?1,
x?yx?y2222，其中最简分式有（ ）个。
D. 1
，
aB. 3 C. 2
?41b2a?4的最简公分母是 .
例5：分式a与
1的最简公分母为________________；
?1x?xy2例6：分式
x?y22,的最简公分母为 。
8、分式的加减：
分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。
通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。 例1：
2m?2nm= 例2：
xy?x42aa22?3?1?aa22?4?1=
例3：
yx?y?= 例4：
x?2yx2?y2?yy2?x2?2xx2?y2=
计算：（1）
m?32?m?1m?3 （2）
aa?b2?bb?a （3）
a22(a?b)?b22(b?a)
（4）
5ab?3ab2－
3ab?5ab22－
8?abab2.
13115例5：化简
ba1xcb+
12xac+
13x等于（ ） A．2x B．2x C．6x D．6x
2aa?42例6： 例9：
?? 例7：?1a?2 例8：
3x(x?3)2?x3?x
xx?3?x?6x2?3x?1 －2 例11：a?1? 2xa?4a?1例10：a?a?22a?1a?2a例12：
x2x?1?x?1
ba?babb2练习题：（1） ??a2 （2）
12?x?4x2?4?x?12?x （3）
12a?92+
23?a.
（4）
b2a-b?a?b （5） 2?xx?y1?yy?x
例13：计算a?1?aa?11x?2的结果是（ ）A
2xx?42a?1 B ?1a?1 C
a?a?1a?12 D a?1
例14：请先化简：
2?，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.
xx?2?1?2xx2例15：已知：x?4x?3?0 求
?4x?4的值。
9、分式的混合运算：
例1：
4x2?16?2x?4?xx?4 例2：
1x?1?x?3x2?1?xx22?2x?1?4x?3
例3：(x?2x?2?x?2x?2)?x2?2xx2 例4：?2???x? ??x?3?x?1224x?yx?y1?x?1???例5：?1? 例6： ?22x?2y1?x?x?1x?4xy?4y?(1x?y?1x?y)?2yx?2xy?y22例7
例8： ?x?4x?x?1?x2?x?x2?1??
?2x?1?xx例9： (x?2x2?2x?x?1x2?4x?4)?
10、分式求值问题：
例1：已知x为整数，且
122x?3?+
23?x24+
2x?18x?92为整数，求所有符合条件的x值的和.
例2：已知x＝2，y＝
，求??(x?y)2???11??÷??的值. 2?(x?y)?x?y??x?y2412x?例3：已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+例4：已知实数a满足a＋2a－8=0，求
1x2
的值为________．
a?2a?1a?4a?3221a?1?a?3a?12的值.
1101214例5：若x??3 求
xx422?x?1的值是（ ）．A．
18 B． C． D．
例6：已知
1x?1y?3，求代数式
2x?14xy?2yx?2xy?y的值
例7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值练习题： （1）
xx22a?1a?3?a?3a?2?a?6a?9a?422．
?4x?8x?16，其中x=5. （2）
a2?8a?16a2?16,其中a=5 （3）
aa22?ab2?2ab?b,其中a=-3，
b=2 （4）
a?1a?4a?422?a?1a?2 ；其中a=85； （5）(5x?2?x?2x?2x2?x?1x?4x?42)?x?4x，其中x= -1
（6）先化简，再求值：
aa?baa223?x2x?4÷(x+2－
aa?b).其中x＝－2.
a22（7）(??2ab?b2)?(a2?b)?1,其中a?23,b??3
1?x?1?（8）先化简，?1???，再选择一个你喜欢的数代入求值．
xx??211、分式其他类型试题：
例1：观察下面一列有规律的数：是＿＿＿（n为正整数） 例2： 观察下面一列分式：?1x,2x223，
38，
415，
524，
635，
748，??． 根据其规律可知第ｎ个数应
,?4x3,8x4,?16x5,...,根据你的发现，它的第8项是 ，第n项
是 。
例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ） Yes n（n+1）输入n 计算 >50 输出结果m n No A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式
15?x与
102?3x互为相反数.
1a?1b23例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝（
） A．x?4x(x?4)2，根据这个规则x☆(x?1)?D．x?2332的解为
23 B．x?1 C．x??或1 或?1
例6：已知?Ax?Bx?Cx?42，则A?_____,B?_____,C?______；
By?2例7： 已知
3y?7(y?1)(y?2)?Ay?1?，则（ ）
A．A??10,B?13 例8：已知2x?3y，求
B．A?10,B?13 C．A?10,B??13 D．A??10,B??13
xyx?y22?y222x?y的值；
1mn例9：设m?n?mn,则
1m?1n的值是( ) A. B.0 C.1 D.?1
例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式
ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ 例11：先填空后计算： ①
1n?1n?11n?11n?21n?21n?32222= 。
1?= 。
?1?= 。（3分）
1②（本小题4分）计算：
解：
n(n?1)1??1(n?1)(n?2)1(n?2)(n?3)(n?2)(n?3)???1(n?2007)(n?2008)
1n(n?1)?(n?1)(n?2)???(n?2007)(n?2008)
=
12、化为一元一次的分式方程：
（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 （3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根． 例1：如果分式例2：要使
5x?1x?12x?1与4x?2的值为－1，则x的值是 ； 的值相等，则x=__________。
2mx?1m?x例3：当m=_____时，方程
2a(x?1)3x?1x?2x?2=2的根为
12.
例4：如果方程
2x?3 的解是x＝5，则a＝ 。
2?xx?313?x例5：(1)? (2)
?16x2??1
例6:解方程：
?4?x?2x?2a?
x?43?x例7：已知：关于x的方程1?例8：已知关于x的方程例9：若分式
1x?2x?ax?2x?3无解，求a的值。
??1的根是正数，求a的取值范围。
与
x?2x?3的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；
mx2例10：当m为何值时间？关于x的方程
b?xa?x?2?xx?1?x?1x?2的解为负数？
例11：解关于x的方程?2?x?1a?bx?ba?(a?0) 2a例12：解关于x的方程:
x?1a?b?a?b22(a?0)
例13：当a为何值时,
x?1x?2?x?2x?12?2x?a(x?2)(x?1)2的解是负数?
例14：先化简,再求值:
x(x?y)x?1x?22?x?yx?y?2x?2?x?2y?3?2,其中x,y满足方程组? x?y?x?y??2例15知关于x的方程?xx?1?m(x?2)(x?1)的解为负值，求m的取值范围。
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