分式考点及典型例题分析
1、分式的定义：
例：下列式子中，
15x?y、8ab、-
2
9a23、
5a?b2x?y、
3a2?b42、2-
2a、
1m、
5xy6
1x、
12、
x2?12、
3xy?、
3x?y、a?1m中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5
练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴
2x?7x?5； ⑵
x2?13；⑶
?5aa2；⑷
x?x?22?；⑸2?b2b；⑹
xy2x?y22.
（2）下列式子，哪些是分式？
?a5；
3x?42；
y3y；
7x8??；
x?xyx?2y；?14?b5.
2、分式有，无意义，总有意义：
（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（x?1≠0） 例1：当x 时，分式
1x?51x22有意义； 例2：分式
2x?12?x中，当x?____时，分式没有意义
xx2例3：当x 时，分式
?1有意义。 例4：当x 时，分式
x?yx?y?1有意义
例5：x，y满足关系 时，分式无意义；
例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A．
2xx?12 B.
xx?2x2x?1 C.
3xx?13 D.
x?5x2
例7：使分式 有意义的x的取值范围为（ ）A．x?2 B．x??2 C．x??2 D．x?2
x?2例8：要是分式
(x?1)(x?3)没有意义，则x的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3
3、分式的值为零：
使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式
1?2aa?1的值为0 例2：当x 时，分式
x2?1x?1的值为0
例3：如果分式
a?2a?2x?xx?122的值为为零,则a的值为( ) A. ?2 B.2 C. ?2 D.以上全不对
例4：能使分式的值为零的所有x的值是 （ ）
A x?0 B x?1 Cx?0 或x?1 Dx?0或x??1 例5：要使分式
xx22?9?5x?6的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2
例6：若
aa?1?0,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数
4、分式的基本性质的应用：
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
AA?CAA?C
???C?0? BB?CBB?C例1：
xyaab3?aby ；
6x(y?z)3(y?z)2?y?z ；如果
5(3a?1)7(3a?1)?57成立,则a的取值范围是________；
23例2：
ab?1(a?2ba?b?b?c)a??b?c()
例3：如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变 例4：如果把分式
10xx?y中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）
110 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的
xyx?y
例5：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍 例6：如果把分式
x?yx?y中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍
例7：如果把分式
x?yxy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）
12A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小例8：若把分式A．扩大12倍
x?3y2x倍 ）
的x、y同时缩小12倍，则分式的值（
C．不变
D．缩小6倍
B．缩小12倍
例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A、
3x2y B、
3x2y2 C、
3x22y D、
3x2y32
例10：根据分式的基本性质，分式A
a?a?b?aa?b可变形为（ ）
aa?b B
aa?b C ? D ?aa?b
? ；
例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， ?0.2x?0.012?x?0.051?x21?x?x= 。
5、分式的约分及最简分式：
①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．
③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）
约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。
第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。 例1：下列式子（1）
x?yx?y22?1x?y；（2）
b?ac?a?a?ba?c；（3）
b?aa?b??1；（4）
?x?y?x?y?x?yx?y中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
例2：下列约分正确的是（ ） A、
xx62?x； B、
3x?yx?y?0； C、
x?yx2?xy?1x； D、
2xy224xy?12
例3：下列式子正确的是( ) A
2x?y2x?y?0 B.
?a?ya?y??1 C.?yx?zx?y?z?x D.
c?da?c?da?c?d?c?da?0
例4：下列运算正确的是（ ） A、
aa?b??aa?b B、
2x?4x?12 C、
ab22?ab D、
12m?1m?1m
例5：下列式子正确的是（ ）
A．
ba?ba22 B．
a?ba?b?0 C．
?a?ba?b??1 D．
0.1a?0.3b0.2a?bmm?3?a?3b2a?bmm?3
例6：化简
m2?3m29?m的结果是（ ）A、
mm?3 B、? C、 D、
m3?m
例7：约分：
?4xy6xy22? ；
3?xx2?9= ；
?3xy2?y3x?5y53??； 。 ??0.6x?yxy11x?1例8：约分：
a?42 a?4a?4ax?ayx?y9?m222＝ ；
4xy16xy2? ；
a(a?b)b(a?b)? ；
x?y(x?y)232?
? ；x?16x?8x?165ab20ab222? ；x?92x?62? ?14abc21abc3?___________
2m?3?__________?__________
xx122?9?6x?9?__________。
例9：分式
a?2a2，
aa?b2?3?b2，
4a12(a?b)，
x?2中，最简分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6、分式的乘，除，乘方：
分式的乘法：乘法法测：分式的除法：除法法则：
abab〃÷
cdcd==
acbdab.
dc〃=
adbc
ab分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(
ab).分式的乘方，是把分
n
子、分母各自乘方.用式子表示为：(例题： 计算：（1）
26x15x26)=
n
abnn(n为正整数)
??25x39y274 （2）
16xy125a3410?56x100ax22413 （3）a?a?1a2
计算：（4）
a?ba2?ab?ab2?a24ab?a （5）
x?2x?5??25?42x （6）
a?1a?4a?42?a?1a?2
计算：（7）6xy?22?4x3y3 （8）?6ab?3b2a （9）?xy?x2??xyx?y
计算：（10）
2x3y22?5y6x?10y21x2 （11）
x?1x?6x?922?(1?x)?x?3x?x2（12）
a?1a?4a?422??a?1??a?2a?1
a2计算：（13）
a?1?42a?63?a
a?2?a2?2a?1?1a2 （14）
?14?4a?a2???a?3??a2?a?6求值题：（1）已知：x?3222，求
x?yy4x2?2xy?y2?xy?y的值。
x2?xy2 （2）已知：x?9y?y?3x，求
x?y2的值。
x2?y2 （3）已知：1x?3xy?2y的值。
x?1y?3，求
2x?2xy?y例题：
3计算：（1）(2y25)3? （2）???2a??3y3??= ?b?= （3）3x?????2x2???33计算：（4）???b?2??a?2?42??= （5）??????b2?????ab?
???2a????b???a??222 （6）
a?a?a2?1??a??1??????a?1??a?1? a??求值题：（1）已知：x?yz?xz
2?y3?z4 求
xyx2?y2?z2的值。（2）已知：x2?10x?25?y?3?0求
x2?x的值。
2xy?2y22例题：计算(x2?y)?x?yx?xx2?y的结果是（ ）A
xx2?y Bx2?y C
1y 11?y
例题：化简x?x?1yx的结果是（ ）A. 1 B. xy C.
yx D .
xy3计算：（1）
2x?8x?x?2；（2）
x2?2x?1?2xa?2a?1x2?4x?42x?4x2?1?2x?1 （3）(a2－1)·2a2?2a?1÷2a?2
7、分式的通分及最简公分母：
通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）
D
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