5水资源的最优战略选择(2)

x2?1?(

NN?1)e?rtx1 （1.4)

得

11?1x0x1r?ln?1?1x1x2 (1.5)

1?e?rtN?11?rt?ex1x0 （1.6）

xxx12， 0 选取北京市间距相等得三个年份1990，2000，2010 ，相应人口数、、

??10代入（1.5）

、（1.6）得

r=0.0064 N=15.01600068

故，

2267.038338x(t)?1?0.4740125e?0.06628t把各省市数据代入式中，用lingo求解。

【更正一下】 (1.7)

同理求得华北地区其他省市人口增长率及环境能容纳得最大人口数量，预测出各省市未来至2025年的人口数量。由于历年人均需水量变化微小，大体相等，因此我们假设至2025年人均需水量为定值。则2025年预测需水总量为预估人口与人均需水量的乘积，即得到预测需水量，汇总结果如下表：

华北地区各省市2013-2025年水需求总量

表1 单位：亿立方米 省市 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025

预测出2013-2025年华北地区各省市的需水总量，为使2025年水资源的供给和水资源的需求具体量化，我们还需构建模型预测未来至2025年的水供给总量。

3.3.2基于灰色模型的水供给的预测

灰色理论的微分方程模型称为GM模型，G表示Gray,;M表示Model.GM(1,N)表示一阶，N个变量的微分方程型模型。GM(1,1)模型是灰色预测的基础，建模步骤如下： 步骤一：一阶累加生成

(0)x设有变量为的原始数据序列：

北京

45.53412945 45.72255054 45.96238856 46.18641521 46.36561123 46.54549727 46.71231890 46.88659814 47.01251334 471670.6743

x(0)?{x(1),x(2),?,x(n)} （2.1）

(0)(0)(0)

生成一阶累加数列

x(1)?{x(1)(1),x(1)(2),?,x(1)(k),?,x(1)(n)} （2.2）

其中，

(1)(1)x?(i),(k?1,2,?,n）ikx(k)?

步骤二：对累加数列建立微分方程。

(1)x(k)具有近似的指数增长规律，而一阶微分方程的解恰好为指数

由于数列

(1)x增长形式，因此数列满足一阶线性微分方程模型：

dx(1)?ax(1)?b??????(2.3) dt步骤三：计算GM(1，1)模型中微分方程的参数根据导数定义有：

a和b。

dx(1)(1)(1)?lim[x(t??t)?x(t)]/?t?t?0dt

即有灰微分方程

x

其中，

(0)(k)??aZ(k)?b (2．4)

(1)(1)(1)(1)Z(k)?0.5x(k)?0.5x(k?1)

令，

(0)??Z(2)1??x(2)??(0)?(0)??1?Z(3)x(3)???B?Y??????????(0)?(0)????Z(n)1? ?x(n)? ,

(0)

得到

a的最小二乘估计

a?为

?a?a????(BTB)?1BTY?b? （2.5）

?步骤四：建立灰色预测模型

将求得的

ab和

代入原方程

dx(t)(1)?ax(t)?bdt （2.6）

可解，

(1)b-akbx(k?1)?[x(1)?]e?,(k?0,1,2,?)aa（2.7）

(0)(0)x式（2.7）称为GM的时间相应函数模型，再经过累减运算可得原始数列的预测模型为

?(1)x(k?1)?x(k?1)?x(k),(k?0,1,2,?)（2.8）

用该模型预测2013到2025年北京市的供水总量：

北京历年供水总量

单位:亿立方米

年

份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

?(0)?(1)?(1)供水总量 35.00 34.60 34.50 34.30 34.80 35.08 35.50 35.20

（数据来源：《中国统计年鉴》） 设北京市供水总量

x(0)x的原始数据序列：

?{35,34.6,34.5,34.3,34.8,35.08,35.5,35.2}

(0)生成一阶累加数列：

x(1)?{35,69.6,104.1,138.4,173.2,208.3,243.8,279}

确定数据矩阵：

?34.6???52.3?34.5???86085?(0)?x(0)(2)??1????Z(2)??121.25?(0)??34.3???(0)x(3)????Z(3)1????Y???34.8?B????155.8??????????(0)?35.08 ?(0)???190.75?x(n)??35.5???Z(n)1???226.05????35.2???261.4???用Matlab算出待定参数a和b：

1?1??1??1?1? ?1?1???a???0.0026?T?1T?b??(BB)BY??34.5164?????

a??0.0026 b?34.5164

建立微分方程：

dx(1)(t)?0.0026x(1)(t)?34.5164

dt

得到预测模型：

x(t?1)?13310.54e0.0026t?13275.54

带入相应数据用lingo求解得出2013-2025年供水总量预测值，汇总结果如下表：

2013-2025年华北地区各省市预测供水总量

单位：亿立方米

?(1)

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