实际问题与二元一次方程组经典例题(3)

解：设原三位数的百位数字为 x，个位数字为y，由题意得：

，

答：所求三位数是504。

类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题

9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？

思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比。 解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：

，

答：甲取20kg，乙取30kg

法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg，

则甲种酒精溶液含水7x kg，乙种酒精溶液含水y kg，根据题意得：

，

所以 10x=20,5y=30.

答：甲取20kg，乙取30kg

总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。 举一反三：

【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？ 思路点拨：做此题的关键是找到配制溶液前后保持不变的量，即相等的量。本题主要有两个等量关系，等量关系一：配制盐水前后盐的含量相等；等量关系二：配制盐水前后盐水的总重量相等。 解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克，依题中的两个相等关系得：

，解之得：

答：需要10%的盐水6.4千克与85%的盐水5.6千克

【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克

浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？ 解：设需要用x千克浓度为35%的农药加水y千克，根据题意得：

，解之得：

答：需要用40千克浓度为35%的农药加水760千克。 类型十：列二元一次方程组解决——几何问题

10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组。 解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：

，

答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。

总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解。 举一反三：

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？

思路点拨：此题隐含两个可用的等量关系，其一长方形的周长为铁丝的长48厘米，第二个等量关系是长方形的长剪掉3厘米补到短边去，得到正方形，即长边截掉3厘米等于短边加上3厘米。 解：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意得：

，

所以正方形的边长为：9+3=12厘米 正方形的面积为：

=144厘米

长方形的面积为：159=135厘米

答：正方形的面积比矩形面积大144-135=9厘米

总结升华：解题的关键找两个等量关系，最关键的是本题设的未知数不是该题要求的，本题要是设正方形的面积比矩形面积大多少，问题就复杂了。设长方形的长和宽，本题就简单多了，所以列方程解应用题设未知数是关键。

【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？ 解：设草坪的长为y m 宽为x m，依题意得：

，解得：

答：草坪的长为m,宽为m

类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题

11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？

思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。 解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：

，

答：父亲现在30岁，儿子6岁。

总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。 举一反三：

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

思路点拨：本题的关键是两句话，第一句：小李的年龄是他爷爷的五分之一；第二句：他的年龄变成爷爷的三分之一。把未知数设出来，已知量和未知量根据这两句话列两个方程。 解：设今年小李的年龄为x岁，则爷爷的年龄为y岁。根据题意得：

，解得：

答：今年小李的年龄为12岁。

类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：

12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣. 解：方案一获利为：4500×140=630000(元).

方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元). 方案三获利如下： 设将吨蔬菜进行精加工，

吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：

，解得：

所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元). 因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多 答：方案三获利最多，最多为810000元。 总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案. 举一反三：

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

解：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台。 ①若购进甲、乙两种电视机，则：

②若购进甲、丙两种电视机，则：

③若购进乙、丙两种电视机，则：

故商场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台。 (2)按方案①，获利150×25＋200×25＝8750元， 按方案②，获利150×35＋250×15＝9000元 ∴选择购进甲种35台和丙种15台。 规律方法指导

1．学习列二元一次方程解应用题，通过深入挖掘隐含的条件，渗透解题的简捷性的数学美以及准确的设元，发挥解题的创造性的数学美． 2．实际问题主要包括：（1）行程问题：（2）工程问题;（3）销售中的盈亏问题; （4）储蓄问题;（5）产品配套问题;（6）增长率问题;（7）和差倍分问题; （8）数字问题; （9）浓度问题; （10）几何问题; （11）年龄问题; （12）优化方案问题. 3．注意问题：

a:（1）行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；（2）工程问题注意总的工程量是由几部分组成的；（3）利润问题中注意利润和利息的算法；（4）零件配套问题对零件的配套关系容易弄混。 b:（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。（2）“设”“答”两步，都要写清单位名称。（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。

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