实际问题与二元一次方程组经典例题(2)

【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩，乙种蔬菜种植了

亩，则：

，解得

答：李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩．

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

进价（元/件） 售价（元/件） （注：获利 = 售价 — 进价） 求该商场购进A、B两种商品各多少件；

解：设购进A种商品件，B种商品件，根据题意得：

A 1200 1380 B 1000 1200

化简得： 解得：

答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件。

类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，

一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税） 思路点拨： 设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：

解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：

，解得：

答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.

总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等

量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来. 举一反三：

【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）

思路点拨：扣税的情况：本金×年利率×(1-20%)×年数=利息（其中，利息所得税=利息 金额 ×20%）.不扣税时：利息=本金×年利率×年数.

解：设第一种储蓄的年利率为x，第二种储蓄的年利率为y，根据题意得:

，解得:

答：第一种储蓄的年利率为2.25%，第二种储蓄的年利率为0.99%.

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？

解：设第一种存款数为X元，则第二种存款数为y元，根据题意得：

，解得：

答：第一种存款数为1500元，第二种存款数为2500元。

类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.

现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).

解：设用米布料做衣身，用

米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键. 举一反三：

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

思路点拨：两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：①制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190；②制盒身个数的2倍=制盒底个数.

解：设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，由题意得：

答：用110张制盒身，80张制盒底，正好制成一批完整的盒子.

【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。 解：由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有 x人，生产螺母的有y人，

则：，解得：

答：生产螺栓的有25人，生产螺母的有35人。

【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

解：设用 x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根据题意，得：

， 解得：

∴可做50×3＝150张方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150张方桌。

类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题

6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出

比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有 去年 今年 总产值（万元） 总支出（万元） x 120%x y 90%y 利润（万元） 200 780 根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。

解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：

，解之得：

答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元

总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。 举一反三：

【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？ 解：设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，由题意得：

，解得：

答：今年的总产值为2000万元，总支出为1800万元 思考：本问题还有没有其它的设法？

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。

思路点拨：由题意得两个等式关系，两个相等关系为： （1）城镇人口+农村人口=42万；

（2）城镇人口×(1+0.8%)+农村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%） 解：设现在城镇人口为x万，农村人口为y万，由题意得：

解得

答：现在城镇人口14万人，农村人口为28万人

类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题

7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？ 思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。

解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：

， 解得：

所以：1.6x=1.65=8, 1.5y=1.54=6

答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶. 举一反三：

【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．

解：设中国内地去年有x个城市参加了此项活动，今年有y个城市参加了此项活动．

依题意得 ， 解得：

答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动

【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

思路点拨：本题关键之一是：小孩子看游泳帽时 只看到别人的，没看到自己的帽子。关键之二是：两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍。找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。 解：设男孩x人，女孩y人，根据题意得：

，解得：

答：男孩4人和女孩有3人。

类型八：列二元一次方程组解决——数字问题

8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。

问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y 问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为： 100y＋x 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。依题意可得：

，解得：

答：这两个两位数分别为45，23. 举一反三：

【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？ 解：设十位数为x，个位数为y，则：

，解得：

答：这两位数为56

【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？ 解：设个位数字为x，十位数字为y， 根据题意得：

，解得：

答：这个两位数为72.

【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。

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