高中数学三角函数知识点与题型总结(4)

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?y?f(x)的图像向右平移3【解析】由题意将

2??k??个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍,得

?3?(k?Z),解得??6k,又??0,令k?1,得?min?6.

4.（2011全国卷），设函数

（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称

ππππ（C）y= f (x) 在（0，2）单调递减，其图像关于直线x = 4对称（D）y= f (x) 在（0，2）单调递减，其图像关于直线x = 2对称

解析：解法一：f(x)=

?ππ2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x) 在（0，2）单调递减，其图像关于直线x = 2对称。故选D。

p?4,y?5.（2011年江西高考14）已知角?的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若则y=_______.

是角?终边上一点，且

sin???255，

答案：—8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角。

y25对边??sin??25?y??8斜边=16?y

f(x)?f()6?6．（2011年湖南高考9）【解析】若

对x?R恒成立，则

??f()?sin(??)?1???k??,k?Z632，所以3，

sin?(???)si?n?(?2，

????k???6,k?Z.由

f()?f(?)2?，（

k?Z），可知即

si?n?，所以

0??(2k?1?)??6?6k?,Z，代入

f(x)?sin(2x??)，得

f(x)??sin(2x?)2k??剟2x?6，由26???2k??3?2，

k??得

剟xk??2?3，故选C.

b2?c2?a21?222222sinA?sinB?sinC?sinBsinCa?b?c?bc2bc2， 7．（2011四川高考8）解析：由得，即

cosA?∴

1?0?A?2，∵0?A??，故3，选C．

f(x)?4cosxsin(x?1.【解析】：（Ⅰ）因为

?6)?1?4cosx(31sinx?cosx)?122[高考资源网KS5U.COM]

?3sin2x?2cosx?1?3sin2x?cos2x2?2sin(2x??6)所以

f(x)的最小正周期为?

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?（Ⅱ）因为

?6?x??4,所以??6?2x??6?2????2x??,即x?.6263于是，当

时，

f(x)取得最大值2；当

2x??6???,即x??时,f(x)66取得最小值—1．

f(x)?Asin(x??)0???32.y?f(x)的部分图像，如图所示，，x?R，A?0，

???2.（2011年浙江高考18）已知函数

P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A).

（Ⅰ）求

f(x)的最小正周期及?的值；（Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，

?PRQ?2?3，求

A的值.

T?2.（Ⅰ）解：由题意得，

2??3?6y?Asin(x??)P(1,A)3因为在的图像上

???sin(??)?1.0???32所以又因为

?(

??，所以

?6（Ⅱ）解：设点Q的坐标为

x0,A).，由题意可知

3x0??6?2?3，得x0?4，所以Q(4,?A)，连接

PQ,在△PRQ

2?中，∠PRQ=3,由余弦定理得

222RP2?RQ2?PQ2A?9?A?(9?A)1cos?PRQ???22RP.RP2，解得A2=3。 23.9?A又A＞0，所以A=3。

cosA?2cosC2c?a?A,B,Ca,b,c?ABCcosBb， 3. （2011年山东高考17） 在中，内角的对边分别为，已知sinC1cosB?,b?24（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若，求?ABC的面积S。

cosA?2cosC2c?acosA?2cosC2sinC?sinA???ABCcosBbcosBsinB解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得，，

即sinAsinB?2cosCsinB?2sinCcosB?sinAcosB

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则sinAsinB?sinAcosB?2sinCcosB?2cosCsinB

sin(A?B)?2sin(C?B)，而

A?B?C??，则

sinC?2sAin，即

sinC?2sinA。另解1：在

?ABC中，由

cosA?2coCs?cosBc?2ab可得，bcosA?2bcosC?2ccosB?acosB b2?c2?a2a2?b2?c2a2?c2?b2a2?c2?b2???2caa2c由余弦定理可得，整理可得

c?2a，由正弦定理可得

sinCc??2sinAa。另解2：利用教材习题结论解题，在

?ABC中有结论

a?cbos?Ccco?Bsb,c?coAsa?cCo?c由

cosA?2cosC2c?a?aBbAbcosB可得

bco?Asb?2Cco即?cbcosA?aBcosB?a2ccosB?B2bcosC，则c?2a，

sinCc1??2cosB?,b?22222224?c?a?2accosB?4a?a?a?4a,c?2asinAa4由正弦定理可得。（Ⅱ）由及可得

?1115acsinB??1?2?1?cos2B?224S?，即

则a?1，c?2，S

154。

3，b=2，1?2cos(B?C)?0，求边

4.（2011年安徽高考16）在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=BC上的高.

解：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又

1?2cos(B?)C0?，∴

1?2cos(180?)?A0?os，即1?2cA0?cosA?，

12，

bsinA2sin60?2absinB????a23又0°

???2sin75?2sin(45?30) b?a又∵，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC2sinC＝，

?2(sin45cos30?cos45sin30)?????2(23213?1???)?22222.

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5.（2011年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asin0A?75,b?2,求a，c.

(Ⅰ)求B；（Ⅱ）若

A?csinC?2asinC?bsinB.

【解析】(I)由正弦定理得a2?c2?2ac?b2…由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB.故

??cosB?22，因此B?45?

（II）

sinA?sin(30?45)?sin30?cos45??cos30?sin45??2?64 故

sinAa?b??sinB?2?6sinCsin60?1?3c?b??2??62sinBsin45?.……………………………

6.（2011年安徽高考17）在?ABC中，角

A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinA?acosC.

（I）求角C的大小；（II）求解

析

：

（

I

）

3sinA?cos(B?)4的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

由

正

弦

定

理

得

?sinCsinA?sinAcosC.s因为

0?A??,所以

sAi?n从而0.C??又sCin所以?Cco?3?B则.?Ccos?C0?,?A.ta44（II）由（I）知于是

n1,3sinA?cos(B?)?3sinA?cos(??A)4?3sinA?cosA?2sin(A?).6?3???11?????0?A?,??A??,从而当A??,即A?时,2sin(A?)6取最大值2． 46612623 ，

?综上所述，

??5?3sinA?cos(B?)A?,B?.4的最大值为2，此时312

1?f(x)?2sin(x?)36，x?R．

7．（2011年广东高考16）已知函数

（1）求

???5??106?,??0,f()f(3??)?f(3??2?)???2??，4的值；（2）设213，5，求cos(???)的值．

f(16．解：（1）

5?15????1??10)?2sin(??)?2sin?2f(3??)?2sin[(3??)?]?2sin??43464232613，（2）

???51??63?,??0,?sin??cos??f(3??2?)?2sin[(3??2?)?]?2sin(??)???2?， 13，5，∵3625，即即

cos??1?sin2??∴

1213sin??1?cos2??，

45∴

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cos(???)?cos?cos??sin?sin??8．（2011年广东高考18）已知函数

1235416????13513565

f(x)?sin(x?7?3?)?cos(x?)44，x?R．

44?cos(???)??0?????2[f(?)]?2?0．f(x)552（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，．求证： ?7?7?3?3??2sin(x?)f(x)?sinxcos?cosxsin?cosxcos?sinxsin4，∴f(x)的最4444?2sinx?2cosx（Ⅰ）解析：

cos(???)?f(x)min??2．Ⅱ）证明：由已知得

小正周期T?2?，最小值

式相加得∴

cos?cos??sin?sin??44cos?cos??sin?sin???5，5，两

2cos?cos??0，∵

0??????2，∴cos??0，则

???2．

[f(?)]2?2?4sin2?4?2?0．

9.（2011年江苏高考17）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为

a,b,c

sin(A?（1）若

?6)?2cosA,1cosA?,b?3c3 求A的值；（2）若，求sinC的值.

?sin(A?)?2cosA,?sinA?3cosA,?A?63 解析：（1）

1?cosA?,b?3c,?a2?b2?c2?2bccosA?8c2,a?22c3（2） 22cc?sinC由正弦定理得：sinAsinA?1?cos2A?，而

??221,?sinC?33。（也可以先推出直角三角形）

基本定义

定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 （平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线）

即：│PF1-PF2│=2a 定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

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