江苏省泰州市2016届高三一模考试数学试题(2)

22．【必做题】（本题满分10分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4． （1）设AD??AB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为910，求?的值； 50（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB1—B的余弦值． C1B1

A1 C BD

A

23. 【必做题】（本题满分10分）

已知k,m?N*，若存在互不相等的正整数a1,a2,?,am，使得a1a2,a2a3,?,am?1am,ama1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值． （１） 求f(6)的值；

（２） 对于给定的正整数n(n?1)，

（ⅰ）当n(n?2)?k?(n?1)(n?2)时，求f(k)的解析式； （ⅱ）当n(n?1)?k?n(n?2)时，求f(k)的解析式．

参考答案

一、填空题

1．?1,0,1?； 2．?2?i； 3．22； 4．200； 5．5； 6．

?411； 7．； 8．(2,??)； 9．； 10．(??,?2)； 52211．?16； 12．[7,11]； 13．二、解答题

2?32. ?1 ； 14．?3215. 证明：（1）因为acosA?bcosB，

所以sinAcosA?sinBcosB，所以m//n. ?????7分 （2）因为m?n，所以cosAcosB?sinAsinB?0，即cos(A?B)?0， 因为a?b，所以A?B，又A,B?(0,?)，所以A?B?(0,?)，则A?B?所以tan?2，?12分

A?B??tan?1. ?????14分 2416. 证明（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，

P∴DF//AC，

又∵DF?平面PAC，AC?平面PAC，

∴直线DF//平面PAC． ?????6分 F（２）∵?PAC??BAC?90?， AB∴AC?AB，AC?AP，

又∵AB?AP?A，AB,AP在平面PAB内，

∴AC?平面PAB， ?????8分 ∵PF?平面PAB，∴AC?PF，

∵PA?PB，F为AB的中点，∴PF?AB，

∵AC?PF，PF?AB，AC?AB?A，AC,AB在平面ABC内，

∴PF?平面ABC， ?????12分

∵AD?平面ABC，∴AD?PF． ?????14分

17. 解：（1）过O作OG?BC于G，则OG?1，

CDOG11OF??，EF?1?，?AE??，

sin?sin?sin?ABEODCGF?π3πAEEF?11所以T(?)?????，??[,]．??7分

445v6v5v6vsin?6v（写错定义域扣1分）

（2）T(?)??5v?11?，

6vsin?6v1cos?6sin2??5cos?(2cos??3)(3cos??2)T?(?)?????，????9分

2225v6vsin?30vsin?30vsin?记cos?0?23，?π3π0?[4,4]， ? (?4,?0) ?0 (??0,34) T?(?) - 0 + T(?) ? ? 故当cos??23时，时间T最短． 18. 解：（1）因为a21n?11nn?3(?3)??2(?3)，

2[(1?(?1 Sn?33)n]?1[(1?(?1)n]， 1?(?1233)11所以b2S?(?)nnn?31a?2??．n?2(?1

3)n?22（2）若bn?n，则2Sn?nan?2n，∴2Sn?1?(n?1)an?1?2， 两式相减得2an?1?(n?1)an?1?nan?2，即nan?(n?1)an?1?2， 当n?2时，(n?1)an?1?(n?2)an?2，

两式相减得(n?1)an?1?(n?1)an?1?2(n?1)an，即an?1?an?1?2an， 又由2S1?a1?2，2S2?2a2?4得a1?2，a2?3， 所以数列{an}是首项为2，公差为3?2?1的等差数列， 故数列{an}的通项公式是an?n?1． （3）由（2）得cn?1n?n ， 对于给定的n?N*，若存在k,t?n,k,t?N*，使得cn?ck?ct， 只需

n?1n?k?1t?1k?t，

????14分 ????2分????4分 ????8分 ????10分

1111111n(k?1)?(1?)?(1?)，即???，则t?， ????12分 nktnktktk?n取k?n?1，则t?n(n?2)，

即1?n2?2n?1n?1n?2∴对数列{cn}中的任意一项cn?，都存在cn?1?和cn2?2n?使得2nn?1n?2ncn?cn?1?c2． ????16分 n?2n19．解：（1）设B(x，则C(?xx200,y0)0,?y0)，4?y20?1 21?1所以kyx201k2?x?y0?y0?40122?2??4． 0?2x0?2x0?4x0（2）联立??y?k1(x?2)k2)x2?4k2x?4(k22得(1??1)??x?y2?41110， 解得x2(k21?1)1?k2,y?4k1P?P?k1(xP?2)?1?k2， 11?y?联立?k1(x?2)?x2得(1?4k221)x?16k21x?4(4k21?1)?0，??4?y2?1

解得x2(4k21?1)?4k1B?1?4k2,yB?k1(xB?2)??4k2， 111?4k1所以kyBBC???2k1?yPx2?1，kPQB4k1x?6?1?k212(k21)6??5k14k21，P1?1?51?k2?15所以k5PQ?2k55BC，故存在常数??2，使得kPQ?2kBC． （3）当直线PQ与x轴垂直时，Q(?685,?5)，

?8则kAQ?5?1?k，所以直线AC必过点Q． ?6225?2当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：y??5k14k2(x?6)，1?15????4分 ????8分 ????10分

?5k16?2y?(x?)?2(16k?1)16k1?214k1?15，解得xQ?联立?， ,y?Q2216k?116k?111?x2?y2?4?所以kAQ16k116k12?11????k2，故直线AC必过点Q． ????16 分 ?2(16k12?1)4k1?216k12?1（不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分） 20. 证：（1）因为f?x??ax?412x?x?0?，所以f?(x)?4ax3?x， 2由(4ax3?x)??12ax2?1?0得f?(x)的递减区间为(0,1)， ????2 分 23a当x?(0,1)时，f?(x)?4ax3?x?x(4ax2?1)?0， 23a所以f?x?在f?(x)的递减区间上也递减． ????4 分

121x?(4ax3?x)?ax4?4ax3?x2?x， 221214332因为x?0，由g?x??ax?4ax?x?x?0得ax?4ax?x?1?0，

2211322令?(x)?ax?4ax?x?1，则??(x)?3ax?8ax?，

221因为a?0，且??(0)???0，所以??(x)必有两个异号的零点，记正零点为x0，则x?(0,x0)时，

24（2）解1：g?x??f?x??f??x??ax???(x)?0，?(x)单调递减；x?(x0,??)时，??(x)?0，?(x)单调递增，若?(x)在(0,??)上恰有两

个零点，则?(x0)?0， ????7 分

11?0得3ax02?8ax0?， 223217481ax0?x0?，又因为对称轴为x?,所以?()??(0)???0， 所以?(x0)??939332873217ax0?(x0?)?0， 所以x0??，所以?(x0)??339331121322又?(x)?ax?4ax?x?1?ax(x?8)?x(ax?1)?1，

222由??(x0)?3ax0?8ax0?2设1,8中的较大数为M，则?(M)?0， a故a?0g?x?在(0,??)上恰有两个零点． ????10 分

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