2011年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版） - 空间向量及应用(2)

A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知； ??4?16?x2?36??4?4y?2x?0?（2）A 点拨：由题知??x?4,?x??4,???y??3或?y?1.；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得.

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况. 例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）. (1)cos?=a?b|a||b|?1?0?0=

102?5?－10，

10∴a和b的夹角为－10。

(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），

∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。 5则k=－2或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=k2a2－ka·b－

52b2=2k2+k－10=0，解得k=－2，或k=2。 题型4：数量积

例7（2009江西卷文）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为 ．．

A. AC?BD B. AC∥截面PQMN

C. AC?BD D. 异面直线PM与BD所成的角为45?

答案：C

【解析】由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；

异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确； 综上C是错误的，故选C.

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律.

?????例8．（1）设向量a与b的夹角为?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，

则cos?? ．

??????解：设向量a与b的夹角为?,且a?(3,3),2b?a?(?1,1)∴b?(1,2)，则

??a?b9310co?s????=.

10a?b32?5（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)

?的夹角都等于4。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。

解析

（2）解：(1)∵|a|=|b|=1，∴x1+y1=1，∴x2=y2=1. 2??又∵a与c的夹角为4，∴a·c=|a||c|cos4=261?1?1=2.

22222226又∵a·c=x1+y1，∴x1+y1=2。

另外

2x12+y1611=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=(2)2－1=2.∴x1y1=4。

(2)cos=612x+4=0的解.

a?b|a||b|61=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=2，x1y1=4.∴x1，y1是方程x2－

????6?26?26?26?2,?x1?,,?x2?,?x1??x2?????4444????6?26?26?26?2????y?,y?.y?,y?.?1?1?2?24444∴?或?同理可得?或? ??6?26?2,?x1?y2?,?x1?y2???44??6?26?2??x?y?,x?y?.11?2?244∵a≠b，∴?或?

6?26?26?26?211144∴cos=·4+·4=4+4=2.

?∵0≤≤π，∴=3。

评述：本题考查向量数量积的运算法则. 题型5：空间向量的应用

例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：13a?1+13b?1+13c?1≤43。 （2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。

解析：（1）设m=(13a?1，13b?1，13c?1)，n=(1，1，1)， 则|m|=4，|n|=3. ∵m·n≤|m|·|n|，

∴m·n=13a?1+13b?1+13c?1≤|m|·|n|=43. 1当13a?1=13b?1=13c?1时，即a=b=c=3时，取“=”号。

111（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·M1M2=14。

点评：若m=(x，y，z)，n=(a，b，c)，则由m·n≤|m|·|n|，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a|·|b|≥a·b的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题.

例10．如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,BC1?AB1,BC1?A1C,求证: AB1?A1C. 证明：?A1C?A1C1?C1C,

BC1?BC?CC1,A1C?BC1?(A1C1?C1C)?(BC?CC1)?A1C1?BC?C1C2?0,?C1C2?A1C1?BC.

同理AB1?AB?BB1,BC1?BB1?B1C1,

??AB1?BC1?AB?BC?CC?0(?BB1?CC1),?AB?BC?A1C1?BC?0,

21又A1C1?AC,?BC?(AB?AC)?0.

设D为BC中点,则AB?AC?2AD.?2BC?AD?0,?BC?AD,

?AB?AC,又A1A?B1B,?A1C?AB1.

点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件.

????????????????1.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若AD?xAB，AE?yAC，

xy?0，则

11?的值为（ ） xy（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

解析：取△ABC为正三角形易得

11?＝3．选B． xy评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．

????2????1????2.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且AP?AB?AC，

55??1???????2???AQ＝AB＋AC，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

341411 A． B． C． D．

5543

?????2????????1?????????????????如下图，设AM?AB，AN?AC，则AP?AM?AN．

55????1?ABPAN?????＝， 由平行四边形法则，知NP∥AB，所以

5?ABCACCQNP?ABQ1?ABP4?．故?，选B． 同理可得

AM?ABC4?ABQ5B3.e1,e2是平面内不共线两向量，已知AB?e1?ke2,CB?2e1?e2,CD?3e1?e2，若

A,B,D三点共线，则k的值是

A．2

B．?3

C．?2

D．3

?1?? A BD?CD?CB?e1?2e2，又A、B、D三点共线，则AB??AD.即?，

?k??2??∴k?2，故选A.

【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用. 要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法. 4、已知平面向量a=(3，?1)，b= (（1）求a?b；

（2）设c?a?(x?3)b，d??ya?xb（其中x?0），若c?d，试求函数关系式y?f(x)并解不等式f(x)?7．（1）a?b?0； （2）由c?d得，?4y?x(x?3)?0， 所以y???13

)． ,22

1x(x?3)； 41x(x?3)?7变形得：x2?3x?28?0，解得x?7或x??4． 45.已知a＝（cos，b＝（c，a与b之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|，os?，sin?）?，sin?）

其中k＞0．

（1）用k表示a、b；

（2）求a·b的最小值，并求此时，a与b的夹角?的大小． 由已知|a|?|b|?1．

2∵ |ka?b|?3|a?kb|，∴ |ka?b|?3|a?kb|2．∴ a?b?211(k?)． 4k∵ k＞0， ∴ a?b?1?2k?1?1． 4k212 此时a?b?11?． ∴ ?＝60°． ∴ cos??|a|?|b|22116.. 已知|AC|?5,|AB|?8,AD?5DB,CD?AB?0。 （1）求|AB?AC|；

?4 （2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，???x??，求sinx

45解：（1）由已知AB?DB?DA?DB?AD?16DB

11 ∴DB?11AB,16AD?55DB?AB,1116|AD｜?2

2

5511

|AB|?,|DB|?,16222

∵CD?AB?0 ∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC=BD+CD,

2222222

又CD=AC－AD, 所以BC=BD+AC－AD=49， ??4分

所以|AB?AC?|BC|?7 （2）在△ABC中，cos?BAC?

??6分

1? ∴?? ??8分 23?4?3 cos（??x）?cos(?x)? sin（?x）??

3535?2????? 而???x??,? 如果0??x?， ??x?31243312???13?3则sin(?x)?sin?sin?? ∴sin(?x)?? ??10分

31262535 sinx?sin[(?x)?]??33

??3?43 10

五．【思维总结】

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为?，对于中点公式要熟记.

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 2．向量在空间中的应用 在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键

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