福建省福州三中2015届高三校模拟考试数学（理）试题(2)

1y?y12，又由于x?a为无理则x1?x2?a为无理数与有理点予盾，所以x1?x2，于是2?2x2?x1x2?ay?y111数，而2为有理数，所以y2??0，于是y2?y1??，所以直线只有一条，且这条直线方

x2?x1221程只能是y??，故正确的选项为C．

2二、填空题 11．300

y2?12．由于角A为锐角，所以AB?AC?0且AB,AC不共线，所以6?3m?0且2m?9，于是实数m的取值范围是(?2,)?(,??)．

13．若A方格填3，则排法有2?32种，若A方格填2，则排法有1?32种，所以不同的填法有27种． 14．当5?3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为(5?4?5?5?3?4)?2?114． y 15．设A(1,1),B(?1,?1)，则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，S1?9292S125528 ?4??2???2，又1??，所以??44901891

三、解答题： 16、解：（Ⅰ）设甲队以4:2，4:3获胜的事件分别为A，B， ∵甲队第5，6场获胜的概率均为 ∴P(A)?(1?)??1 O 1 x ?1 32，第7场获胜的概率为， 5535363228?， P(B)?(1?)??， 5255512568和． 25125 ∴甲队以4:2，4:3获胜的概率分别为

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7， ∴P(X?5)?3336， P(X?6)?(1?)??， 5552532324P(X?7)?(1?)2??(1?)2?(1?)?，

555525 6 7 ∴随机变量X的分布列为

X 5 3 p 56 254 25 E(X)?5?364139?6??7??． 5252525·6·

17、解：（Ⅰ）由条件知，????1?73???，????，∴??，??，

323223??2410∴x1??,x2?,x3?，f(x)?3sin(x?)．

333232（Ⅱ）∵函数f?x?的图像向右平移个单位得到函数g?x?的图像，

3?2??∴g?x??3sin[(x?)?]?3sinx，

2332∵函数g?x?在区间?0,m?（m??3,4?）上的图像的最高点和最低点分别为M,N，

∴最高点为M1,3，最低点为N3,?3， ∴ON?3,?3， NM??2,23， ∴cos??????????ON?NMON?NM??35?，又0????，∴??． 2618、解：(Ⅰ) ∵点N与M??1,1?关于原点O对称，∴点N?1,?1?，

设P?x,y?，∵直线MP与NP的斜率之积等于?∴

1， 3y B M O N P A 3 y?1y?11???，化简得x2?3y2?4 ?x??1?， x?1x?13∴动点P的轨迹方程为x2?3y2?4 ?x??1?.

(Ⅱ)法一：设存在点P?x0,y0?，使得?PMN与?PAB的面积相等， 11∴PA?PBsin?APB?PM?PNsin?MPN， 22∵sin?APB?sin?MPN?0， ∴PA?PB?PM?PN， 即

x PAPM?PNPB， ∴

3?x0x0?1?x0?13?x0，解得x0?5， 333533). ， ∴满足条件的点P为(,?939法二：设P?x0,y0?，A?3,y1?,B?3,y2?

22∵x0?3y0?4， ∴y0??x0?4y0?3?y1?1y0?1??y?1?4?x0?1x0?1??∴?，解得? ，

y?12y?x?3y?10?2?y?0?02??x0?1x0?1?2?∴AB?y1?y2??2x0?6??x0?y0?2x0?1，

∵S?PAB?S?PMN，MN?22，又点P到直线MN的距离d?x0?y02，

·7·

∴

113?x0y1?y2?MNd， 22∴3?x0?2x0?6??x0?y0?2x0?1?2?x0?y0?x0?3??， ∴

2x0?125?1，解得x0?， 3zP22∵x0?3y0?4， ∴y0??33533). ， ∴满足条件的点P为(,?939AOCy19、解：（Ⅰ）证明:取AC中点O，连接PO,BO，由于四边形ABCD为

菱形，

?PA?PC,BA?BC，?PO?AC,BO?AC, 又PO?BO?O， ?AC?平面POB，又PB?平面POB， ?AC?PB.

Bx面PAC， (Ⅱ) ?平面PAC?平面ABC， 平面PAC?平面ABC?AC, PO?平 PO?AC，

?PO?面ABC,?OB,OC,OP两两垂直，

故以O为原点，以OB,OC,OP方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系， ??ABC?60，菱形ABCD的边长为2， ∴A(0,?1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),P(0,0,3), AB?(3,1,0),PB?(3,0,?3),PC?(0,1,?3)，

设平面PBC的法向量n?(x,y,z)，直线AB与平面PBC成角为?，

0??3x?3z?0 ∴?，取x?1，则y?3,z?1，于是n?(1,3,1)，

??y?3z?0 ∴sin??|cos?AB,n?|?|（Ⅲ）法一： 设

3?32?5|?1515， ∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为.

55,

∴

?ABC??APC??,??(0,?)12?2sin??2sin?， 2PO?APcos?2?2cos?2，

S?ABC?14?8??sin?cos?sincos2

3323228???????sin?1?sin2? (0??)， 32?2?2232????????2sin2?1?sin2??1?sin2? ∴V2?92?2??2?又PO?平面ABC， ∴VPABC?S?ABC?PO????2??1?sin2?1?sin2?2sin32222??9?3??????32?2， ?9?27??·8·

3 163?3??，当且仅当2sin2?1?sin2，即sin?时取等号， 272322163∴四面体PABC体积的最大值为．

27法二：设?ABC??APC??,??(0,?),

∴V?12?2sin??2sin?，又PO?平面ABC，

22214?8??∴VPABC?S?ABC?PO?sin?cos?sincos2

332322∴PO?APcos??2cos?，S?ABC? 设t?sin8???????sin?1?sin2? (0??)，

2232?2??832383，则VPABC?(t?t)，且0?t?1，

? ∴VPABC?(1?3t2)，

33???t?1时，VPABC?0，当?0， 时，VPABC333163163∴当t?时，VPABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．

32727∴当0?t?法三：设PO?x，则BO?x，AC?24?x2，?0?x?2?

又PO?平面ABC， ∴VP?ABC?1111PO?S?ABC??x??x?24?x2??x24?x2， 332312112211?x2?x2?8?2x222?x?x8?2x?∵?x4?x?33232?3????163??， ?27?3当且仅当x?8?2x，即x?20、解(Ⅰ) ∵f?x??2226163时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．

27312x?ax??a?1?lnx， 2x2?ax?a?1?x?1??x?1?a??∴f?(x)?（x?0），

xx2?x?1??0在?0,???上恒成立， 当a?2时,则f??x??x当1?a?2时,若x??a?1,1?，则f??x??0，若x??0,a?1?或x??1,???，则f??x??0， 当a?2时, 若x??1,a?1?，则f??x??0，若x??0,1?或x??a?1,???，则f??x??0，

综上所述：

·9·

当1?a?2时，函数f?x?在区间?a?1,1?上单调递减，在区间?0,a?1?和?1,???上单调递增； 当a?2时，函数f?x?在?0,???上单调递增；

当a?2时，函数f?x?在区间?1,a?1?上单调递减，在区间?0,1?和?a?1,???上单调递增． (Ⅱ)若a?2，则f?x??12x?2x?lnx，由(Ⅰ)知函数f?x?在区间?0,???上单调递增， 2（1）因为a1?10，所以a2?f?a1??f?10??30?ln10，可知a2?a1?0， 假设0?ak?ak?1（k?1），因为函数f?x?在区间?0,???上单调递增， ∴f?ak?1??f?ak?，即得ak?2?ak?1?0，

由数学归纳法原理知，an?1?an对于一切正整数n都成立，∴数列?an?为递增数列． （2）由（1）知：当且仅当0?a1?a2，数列?an?为递增数列， ∴f?a1??a1，即

12a1?3a1?lna1?0 ?a1为正整数?， 2x2?3x?112设g?x??x?3x?lnx ?x?1?，则g??x??，

x23?5,??)上递增， ∴函数g?x?在区间(2由于g?5??ln5?21、（1）解：

5?0，g?6??ln6?0，又a1为正整数，∴首项a1的最小值为6． 2?x??x?2y(Ⅰ)法一：设P?(x?,y?)，依题意得：?，

?y?x?y? ∴M???1 1??1?2??1?， ∴， ∴MM?3??2??1??33 ?． ???11?????33??x??x?2y法二：设P?(x?,y?)，依题意得：?，

?y?x?y?122???1??x?x?y????3333?1 ∴? ， ∴M?? ?．

?11??y??1x??1y????33??33?·10·

12??x?x?y???33(Ⅱ) ∵点P?x,y?在圆x2?y2?1上，又?， 11?y??x??y?33?2??11??1∴?x??y?????x??y???1，即得2x?2?2x?y??5y?2?9，

3??33??3∴变换作用后得到的曲线C的方程为2x2?2xy?5y2?9． （2）解：(Ⅰ) ∵ 直线l过点P?1,0?，斜率为3，

221?x?1?t?2?∴直线l的一个参数方程为? ?t为参数?；

?y?3t?2?∵???cos2??8cos?， ∴??1?cos2???8cos? ， 即得(?sin?)2?4?cos?，

∴y2?4x， ∴曲线C的直角坐标方程为y2?4x．

1?x?1?t?2?2(Ⅱ) 把?代入y2?4x整理得：3t?8t?16?0，

?y?3t?2?设点A,B对应的参数分别为t1,t2，则t1t2??1616， ∴PA?PB?t1t2?． 33（3）解：(Ⅰ)f?x??2x?1?2x?m?2x?2?2x?m??2x?2???2x?m??m?2 ∵m?0， ∴f?x??m?2?m?2， 当x?1时取等号，

∴f?x?max?m?2，又f?x?的最大值为3， ∴m?2?3，即m?1． (Ⅱ)根据柯西不等式得：a2?b2?c212???2??12??a?2b?c?,

22222∵a?2b?c?m?1， ∴a?b?c?????1, 6当

1111abc222??，即a?,b??,c?时取等号，∴a?b?c的最小值为．

66361?21 ·11·

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