《微积分(一)》同步练习册 班级 姓名 学号
第二章 极限与连续 §2.1 数列极限
1. 写出下列数列的通项，考察n??时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结（2）考察“等比数列”：q,q,?,q,?， i）记该数列的前n项和xn?2nq?nk，试将xn化简；
果：
（1）sin?,sin2?,sin3?,?； （2）12,?14,18,?116,?.
2. 计算以下数列的极限： （1）设a?0,a?1，xn?na,n?1,2,?; 求limn??xn；
k?1ii）在此基础上，试求limn??xn；
（3）lim4n?n?2?n2?1n??n?3n?1；
（4）lim?3?ln(2n3?n?1)?2lnn?2lnn2?n???3?；
? （5）limn??4n2?n?2n； （6）limn??n?n?10?n?；- 1 -
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（7*）limn?33n2?n3n??；
）lim3n?sin??n2（8*
?n??2n?cosn2?.
3. 设x1n?n2?1?1n2?2???1n2?n，求limn??xn.
4. 设x12nn?n2?1?n2?2???n2?n，求limn??xn.
5*. 设annni?0,i?1,2,?,k，试求数列极限limnn??a1?a2???ak.
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§2.2 函数极限
1. 由函数y?e?x的图形分别考察极限?x?x?xxlim???e,xlim???e,limx??e.
2. 由函数y?arctanx的图形分别考察极限xlim???arctanx;xlim???arctanx;
limx??arctaxn.
3. 求下列函数极限：
（1）limx2?13x2?7xx?0x2?x?2; （2）limx?02x3?3x2?5x;
78（3）lim22?xx?2?2?x?32?x; （4）limx?3?4x?x???5x?1?15;
（5）lim1x?1(x?1?3x3?1); （6）xlim????2x2?x4x2?2?;
（7）lim3x?6?3x?13x?1．
??arcsin2x,x?0x?04. 设f?x???1,?3x?2x?x,0?x?0.1，试考察极限limx?0f?x?的存在性．??x?10,x?0.1
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5．讨论极限lim1x?01的存在性．
1?ex
6. 设f?x????5x?4,0?x?1?2a?lnx,x?1且极限limx?1f(x)存在，求实数a的值.
7．已知limf(x)存在，f(x)?x2x?1?2xlimx?1f(x), 试求f(x)．
limx?1f(x)=A
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§2.3 函数极限的性质及运算法则
1．试利用公式limsinxx?1证明：
x?0（1）limarcsinx?1； （2）1?cosxx?0xlimx?0x2?1. 2
2．已知lim??f?x??2x?0?x?sinx?x2???1，试求limx?0f?x?．
3*．求极限lim?3??3?3?02x??x??，其中??x??表示x的取整函
x
4*．设f?x?在x?x0?0的某邻域内有定义，记g?x??f?x??fx?x．已知g?x?在x0处
0收敛，且极限limx?xg?x??A?0，试证：存在??0，使得当x??x0??,x0?时
0f?x??f?x0?，当x??x0,x0???时f?x??f?x0?．
保号性
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