第二类曲线积分的计算(3)

例5 计算

I??L(x?y)dx?(x?ysiny)dy222?a(a?0)其L为x?y 按逆时针方向

222从点A(a,0)到点B(?a,0)的上半圆周。 解可将原式改写为

I?3

22个曲线积分的代数和，即

，

?L(x?y)dx?2?xydx?L22?L(x?ysiny)dy依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同?对?偶?倍”、“同?对?奇?零”及及定理1的注1中“反?对?偶?乘?零“的结论，故有

I??L(x?y)dx22

0?2?(x?y)dx?2(x2?a2?x2)dx??2a3L?122a

其中，

L1:y?a?x22，x从点a变到0.

2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分

斯托克斯（Stokes）公式建立了沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系。在介绍下述定理之前，先对双侧面S的侧与边界L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如下图所示。

定理3 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R在S（连同L）上连续， 且有一阶连续偏导数，则

??(S?R?y??R?z)dydz?(?P?z??R?y)dzdx?(?Q?x??P?y)dxdy

???LPdx?Qdy?Rdz （2）

其中S的侧面与L的方向按右手法则确定。

公式（2）称之此公式为斯托克斯公式。

证明： 先证

??S?P?zdzdx??P?ydxdy???LPdx, （3）

??z?x,?z?y,1?，方向余弦为

其中曲面S由方程z?z(x,y)确定，它的正侧法线方向数为

?Z?cos?,cos?,cos??，所以?x?cos?cos?,?Z?y??cos?cos?,

若S在xy平面上投影区为分定义及格林公式有

Dxy，L在xy平面上的投影曲线记为?，现由第二类曲线积

??LP(x,y,z)dx????P(x,y,z(x))dx????P(x,y,z(x,y))dxdyDxy

?因为

?yP(x,y,z(x,y))??P?P?z?y?z?y,

?P?y?P?z?z?y?????yP(x,y,z(x,y))dxdy????(Dxy?)dxdy所以

Dxy

?z由于

?y??cos?cos?,从而

?P?z?z?y?P?y?Pcos??zcos?原式=???(S?P?y?)dxdy????(S?())dxdy

????(S?P?ycos???P?zcos?)dxdycos?

????S?P?ycos???P?zcos?)dS

???S?P?zdzdx??P?ydxdy

综合上述结果，便得所要证明的（3）式。

同样对于曲面S表示x?x(y,x)和y?y(z,x)时，可得

?Q?x?Q?z??Sdxdy?dydz???LQdy （4）

和

??S?Q?xdydz??R?zdydz???LRds （5）

将（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。

如果曲线S不能以z?z(x,y)的形式给出，则用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。 为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：

dydzdzdx??yQdxdy??zR???S??xP??Pdx?Qdy?RdzL

其中C为椭圆

例1，?C(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz,若从轴ox正向看去，此椭圆是依次反时针方向进行的。

xzh解：椭圆如图所示，把平面a??1上C所包围的区域记为S，则S的法线方向为

?h,o,a?，

注意到S的法线和曲线C的方向是正向联系的，可知S的法线与轴正向的夹角为锐角，因此，

????0n???hh?a22,0,??,22h?a? a于是由斯托克斯公式知

??C(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz??2??dydz?dxdz?dxdyS

??2??(cos??cos??cos?)dSS

??2??(Sha?h22?aa?h22)ds??2h?aa?h22??dSS2

2??2h?aa?h2222??21?2ha22d???2h?aa?h22a?ha?a??2?a(h?a)2x?y?a

例2

2?2C(y?z)dx?(x?z)dy?(x?y)dz22222 ，式中C是曲线

x?y?z?2Rx,x?y?2rx(0?r?R,z?0)222

处表面上的最小区域保持在左方

此曲线是如下进行的：由它所包围在球如图所示。

解： 注意到球面的法线的方向余弦为

cos??x?RR,cos??yR,cos??,R zx?y?z?2Rx222由斯托克斯公式有

原式=2??（?y?z)cos??(z?x)cos??(x?y)cos??dSS

?2??(y?z)(SxR?1)?(z?x)yR?(x?y)zRdS

?2??(z?y)dSS

由于曲面S关于oxz平面对称，y关于y是奇函数，有

??SydS?0

于是

原式=??zdS?S??SRcosrdS???SRdxdy?R2??2d??R?r2x?y?2rx

结束语

第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法，是多元函数积分重要分支。本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算，而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系，对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果。通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法。

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