第二类曲线积分的计算(2)

?x?x,0?x?1??y?1?x,

232?AB(x?y)ds?22?10(x?(1?x))2dx?22.

线段OB的参数方程为

?x?0,0?y?1?y?y,?

?OBxi?yds?22?10ydy?213 23132(1?32)所以L?(x?y)ds?2213?2??

（2）这是第二类曲线积分。

?l(x?y)dx?(x?2)dy22

???OA(x?y)dx?(x?2)dy?22?BO(x?y)dx?(x?2)dy22

?10xdx?102?10x?(1?x)dx?(x?2)d(1?x)?16

22?102dy

?13??(1?3x?2x)dx?2?2在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性 问题。

2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分

设D是由分段光滑的曲线l围成的连通有界闭区域，函数P(x,y)，Q(x,y)在其上有一阶连续偏导数，则有格林公式

?Q?x?P?y??lP(x,y)dx?Q(x,y)dy???(D?)dxdy

其中l取正向。

格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中，在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。

例2. 用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分。

解： 显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式，

?l(x?y)dx?(x?2)dy22

1?y0???(1?2y)dxdy?D?10dy?(1?2y)dx

??10(1?2y)(1?2y)dy?16

这比例1中的解法简单一些。

例3. 计算第二类曲线积分

?(y?xl2)dx?(x?y)dy,2

x2其中l为从A（-2,0）到B（2,0）沿椭圆的上半部分的曲线。

4?y2?1

解：l不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x轴的线段BA而成为封闭曲线。

?l(y?x)dx?(x?y)dy?22?BA(y?x)dx?(x?y)dy22

????(?1?1d)xdy?D??2??2?4

2?l(y?x)dx?(x?y)dy22?4?????AB(y?x)dx?(x?y)dy2

?4??BA(y?x)dx?(x?y)dy163

22

?4??2?2xdx?4??2此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。

2.4 利用对称性计算第二类曲线积分

定理1 设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，

L,LL,L设为y??y(x),(a?x?b)。记12分别为L位于x轴的上半部分与下半部分，12分

别在上的投影方向相反，函数P(x,y)在L上连续，那么

1）当P(x,y)关于y为偶函数时，则

?LP(x,y)d?x0

2）当P(x,y)关于为奇函数时，则

?LP(x,y)dx?2?LP(x,y)dx1

证明：依定理条件不妨设

L1:y?y(x)从点a变到点b L2:y??y(x)从点b变到点a

于是由对

坐

标

曲线积

分的性质及计算方?LP(x,y)dx??LP(x,y)dx?1?LP(x,y)dx?2

bb?aP?x,y(x)?dx??aP?x,?y(x)?dx?

b?a?P[x,y(x)]?P?x,?y(x)??dx?

b?a?P?x,y(x)??P?x,?y(x)??dx

故1）当P(x,y)关于为偶函数时，有

b?LP(x,y)dx??a?P[x,y(x)]?P?x,y(x)??bdx??a0dx?0

法有

2）当P(x,y)位于为奇函数时，有

P(x,ydx)??bba

?L?Px[y,x(?)P]?xyx,??dx(?)

2?P?x,yx(?)dx?a?2PLx(ydx,)

注1 对于?LQ(x,y)dy有定理1的结论

注2 定理1可用两句口诀来简言之，即“反?对?偶?零”“与反?对?奇?倍”。其中“反”

指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反?对?奇?倍”涵义类似解释。 关于曲线积?LP(x,y)dx分还有另一个对称性的结论是

定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为

y?y(x),(?a?x?a)，记L1,L2分别L为位于y轴的右半部分，L1,L2分别在x轴上的投

影方向相同，函数P(x,y)在L上连续，那么 1）当P(x,y)关于x为奇函数时，则

?LP(x,y)dx?0

2）当P(x,y)关于x为偶函数时，则

?LP(x,y)dx?2?P(x,y)dxL1

证明： 依定理条件不妨设

L1:y?y(x)从点0变到a

从点?a变到0(a?0).

L2:y?y(x)于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

?LP(x,y)dx??L1P(x,y)dx??0?aL2P(x,y)dx?

?a0P?x,y(x)?dx??P?x,y(?x)?dx

对右端第2个积分，令x??t，有

?0?aP?(x,y)(?x)?dx??a0P?(?t,y(t)?dt??a0P??x,y(x)?dx

因此有

?LP(x,y)dx?a?a0P?x,y(x)?dx??a0P??x,y(x)?dx

???P?x,y(x)??P??x,y(x)??dx

0故1）当P(x,y)在L上关于x为奇函数时，有

?LP(x,y)dx???P?x,y(x)??P?x,?y(x)??dx??0aa00dx?0

2）当P(x,y)在L上关于x为偶函数时，有

P(x,y)dx??a?a0L?P[x,y(x)]?P?x,y(x)??dx?

2?P?x,y(x)?dx?2?P?x,y(x)?dx0L1

注1 对于?LQ(x,y)dy有类似2的结论。

注2 定理1与定理2虽然都是对坐标x的曲线积分，但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x轴而言的，而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y轴和x轴而言的。另外，被积函数P(x,y)的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的，故定理2的结论恰好与定理1相反，定理2用口诀简言之是：“同?对?奇?零?倍”。其中“同”指

L1,L2分

别在x轴的投影方向相同，“对”指L关于y轴对称“奇”指被积函数P(x,y)关于x为奇函数，“零”指曲线积分结果等于零“同?对?偶?倍”的涵义类似解释。

例4 计算

I??Lxydx.其中L为抛物线 y?x从点A(1,?1)到B(1,1)上的一段弧。

2解：以题设条件知，该曲线积分满足定理1中“反?对?奇?倍”的结论，故有

I?2?xydx?2?xL01xdx?45，

其中，

L1:y?x，x从点0变到1.

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