离散数学习题答案-2015(7)

习题十五

3、在实数集合R上定义二元运算“*”如下：?a,b?R, a*b = a+ b+ab；证明：〈R,*〉是含幺半群

证明：

因为定义运算中只包含初等运算+，×，所以是封闭的；

因为对任意实数a,b,c, （a*b）*c = (a+b+ab) + c + (a+b+ab)c = a*(b*c) 具有结合性； 0是幺元，a*0 = a + b + 0.a = a = 0*a 所以是含幺半群

（注：-1没有逆元，因此不是群）

4、设半群中任何两个不同元素关于运算“?”不可交换；证明：对任何a?A,a?a=a

证明：（注：应该是非平凡半群，即元素个数?2）假设存在a?A,a?a≠a, 设a?a=b,那么(a?a) ?a = b?a = a? (a?a) = a?b (运用半群的结合性)，所以a，b，可交换；与题设矛盾，假设不成立；因此原命题结论成立

6、证明：群中只有幺元是幂等元

证明：假设a是幂等元，那么对任意群中元素b，ba=baa ,根据消去率，b = ba；同理 ab = aab ,所以 b = ab，根据幺元的定义，a = e；既群中幂等元是幺元

9、在整数集Z上用加法运算+和-定义新运算“?”如下：?a,b ?Z, a ? b=a+b-2. 证明: 是群

证明：封闭性、结合性证明略。

设幺元为e, e ? a=e+a-2=a, ?e=2.

对a的逆b，有a ? b=2，即a+b-2=2, 可见b=4-a 综上， 是群 11、设和都是的子群，，令S ?T={x|x?S ?x?T}, ST={s*t|s?S?t?T}.(*可交换)；证明：< S ?T, * >和也都是的子群

证明：

-1-1

已知和都是的子群，任取a,b?S ?T, 所以a * b?S, a * b?T, 即

-1

a * b? S ?T, 所以< S ?T, * >是的子群

对于，已知ST=TS，任取s1 * t1, s2 * t2?ST,

-1-1-1-1

(s1 * t1) * (s2 * t2)=(s1 * t1) * (t2* s2) = s1 * t3 * s2

-1

= s1 * s2 * t3 = s3 * t3 ? ST 所以是的子群

16、证明：每个阶数大于1的群必含有阶数大于1的交换子群

证明：因为群G的阶数大于大于1，任取a?G ∧ a≠e，构成 S = (a), 那么S及为满足要求的交换子群；因为

（1） (a)是循环群，所以是交换群，并且是G的子群 （2） e , a ? (a) ∧ a ≠ e, 所以 （a）的阶数大于1

17、证明：循环群的子群必是循环群

证明：

k

设G的生成元为a, H为G的子群，并且H中具有最小正幂的元是a, （1） 如果k = 1,那么a就是子群的生成元，所以是循环子群 （2） 如果k ≠ 1, 那么

kk

G=(a), H?G, H={e, a, ak2, ak3,?}，设a是H中具有最小正指数的元，

mmktr

则? a?H，令m=tk+r (0?r

mktrk

由k的选择知，r=0, 即a=(a) a, H由a生成；因为，假设r ≠ 0，又因为0?r

k -tmr

么 (a) a = a ? H，与k为最小正指数矛盾

18、证明：群中的每个元素和它的逆元有相同的周期

n–nn

证明：设任意元素a的周期为n，那么（-a） = a = -(a) = e ,所以n是-a的周期的

nmr

倍数，假设m是 -a的周期，且 m 〈 n, 那么a (-a) = a = e ,0

30、设是群，a是G中一个固定元素，定义映射f:G → G使得对任何x ?G，f(x)=a·x·a-1. 求证：f是G的自同构映射

证明：

容易证明f是G的同态映射， f(x·y) =a·x·y·a-1 =a·x·a-1· a·y·a-1 =f(x) · f(y) 再证明f是双射，

-1-1

证单射：f(x)=f(y), a·x·a = a·y·a ?x=y

-1-1-1

证满射：令a·x·a = y, x=a·y·a，即任意y，可以找到 x = a·y·a，使得f(x) = y

习题十六

1、设S是由有限个实数组成的非空集合；证明：不是环，其中+，×是实数的加法和乘法运算

证明：因为在有限实数集上，如果 S ≠ {0}，那么加法和乘法都不封闭；但 S = {0}时，是环

3、设A依次为下列数集合，试确定是否成环、整环或域

(1)A={x|x?Z且x ? 0}

答：在非负整数集合内，无加法逆元存在，不是环 (2)A={a+b√3|a,b?Q}

答： 是加群（闭，结，幺，逆），〈A，?〉是含幺半群（闭，结，1为幺，0没有逆元），同时，〈A-{0}，?〉是群，所以是域 (3)A={x|(?y)[y?Z且x=2y]}

答：A是由偶数集合，是环，但〈A,?>半群无幺元，所以不是整环，不是域 (4)A={a/b|a,b为正整数，且(a,b)=1}

答：A为正有理数，无加法逆元存在，不构成环

习题十七

2、设n为正整数, Dn为n的所有正因子构成的集合, 画出、 、 对应的Hasse图，并证明它们都是格

证明：（图略） 菱形 链

≌ 2{a,b,c}

他们都满足格的定义，有最大元，最小元，任意两个元素都可求最大下界最小上界

5、证明：在任何格中下述结论成立：

（1）如果a∧b∧c=a∨b∨c,则a=b=c

证明：因为a∧b∧c?a?a∨b∨c,而a∧b∧c=a∨b∨c，所以a∧b∧c=a∨b∨c=a 同理，a∧b∧c=a∨b∨c=a=b=c

（2）a∨[(a∨b) ∧(a∨c)] = (a∨b) ∧(a∨c)

证明：因为a ?a∨b, a ?a∨c, 所以 a ?(a∨b) ∧(a∨c),所以 (a∨b) ∧(a∨c)

8、设是格,”?” 是对应的偏序，a,b,c,d是L中任意元素，证明：

(1) (a?b) ? (c?d) ? (a?c) ? (b?d) 证明：

因为a?b ? a, c?d ?c,所以 (a?b) ? (c?d) ? (a?c) 同理(a?b) ? (c?d) ? (b?d)

所以 (a?b) ? (c?d) ? (a?c) ? (b?d)

(2) (a?b)?(b?c)?(c?a)?(a?b)?(b?c)?(c?a) 证明：

因为a ? a?b, a ? c?a, 所以 a ? (a?b)? (c?a) 同理 b ? (b?c)? (a?b)

所以 a?b ?(a?b)?(b?c)?(c?a) 同理 b?c ?(a?b)?(b?c)?(c?a), c?a ?(a?b)?(b?c)?(c?a),

所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?(a?b)?(b?c)?(c?a)

10、确定下列各Hasse图对应的格中哪些是分配格，哪些是有补格

答: (图略)

图a, 其子格不包含5点禁格，所以是分配格，但有元素没有补元，不是有补格

图b，其子格不包含5点禁格，所以是分配格，除最大元与最小元外，其它元素没有补元，不是有补格

图c，其子格包含5点禁格，所以不是分配格，其中有元素没有补元，所以不是有补格

15、作一个十元格的Hasse图，使其中某些元素有多个补元，某些元有一个补元，某些元没有补元

A F E

D C

B

答：在上图中，A,B互为补元，补元唯一；E，D都是C的补元；F没有补元

17、设是有补分配格，x,y,z?L；证明：

（1）如果x?y,y∧z=0,则z?-x

证明：因为x?y，所以x∧y=x，因此 -（x∧y）=-x, 及-x∨-y = -x，-y?-x 因为y∧z=0,所以 -y∨（y∧z）= (-y∨y) ∧( -y∨z ) = -y∨z = -y∨0 = -y 所以 z ? -y ? -x , z?-x

补充证明:

[1] 推论：当是有限群时，对非空子集S，如对?a,b?S， 有a*b?S，则是的子群。（即只需判断在S中运算是否封闭即可）

n+1

证明: 设G中有n个元素；因为S是封闭的，所以对任意S中元素a，那么a,a*a,a*a*a,?a，

ijj-Ij-i-1

中一定有相同的元素，设a=a(j>i，取最小值),那么a = e，所以e在S中，且a 与 a就为逆元，所以是群，结论成立

[2] 定理15.5 设是一个群，a?G， 构造映射?a：G→G，使对 ?x?G， ?a（x）=a*x ，令H={?a| a?G}，则对于函数的复合运算“?”， 是群。

证明：（1）证明?a：G→G是G上的双射函数 a) 是单射：因为假设?a（x1）= ?a（x2），那么a*x1 = a*x2 ,根据群中具有消去律，所

以x1 = x2

-1-1

b) 是满射，因为G中任意元素，y，那么a*y就是其原像，及?a（a*y）=y,所以是满射 所以H中的元素，是G上的双射函数；下面所明是群

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