数学分析学位考试试卷B答案(2)

f?x?在??1,?2????1,1?上可导 ,F??1?=F??2? 由罗尔中值定理知存在????1,?2?使F?????0

即???(?1,1)使f'(?)?a (7’) (3). 设函数f?x?在?a,b?上连续，对任何x??a,b?,f(x)?0，试用有限覆盖证明：必存在c?0使得对任何x??a,b?,对任何f(x)?c 证明 （1）f?x?在?a,b?上连续??xi??a,b?,f在xi连续，

f(xi)?0由保号性若取ri?U(ix?)?(xi?f(xi)2，则存在

??,ix 使得 ?x?U(xi),f(x)?ri??(3')。

（2）(xi??,xi??)?xi??a,b?为?a,b?的一个无限开覆盖，

根据有限覆盖定理知?a,b?存在一个有限开覆盖

???(x??,x??)i?1,Ln?LL(5')

ii （3）?x??a,b?，存在i使得x?(xi??,xi??)，由（1）知道

f(x)?ri取c?min1?i?n?ri? 则?x??a,b?,f(x)?cLL(7') (4)设f?x?在?0,a?上有连续导数,且f?0??0,

a则

?0Ma2f(x)dx?,M?maxf'(x)

0?x?a2证:f?x??f?0??f????x 0???x 由f?0??0 则f?x??f????x?Mx

aa则

?f(x)dx??00Ma2 (7’) f(x)dx??Mxdx?206

a

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