数学分析学位考试试卷B答案

南京师范大学泰州学院2008-2009年第一学期学士学位

课程考试卷

2006年级数学与应用数学专业《数学分析》课程考试卷 B

卷

（考试时间120分钟，满分100分）

班级： 得分： 学号： 姓名：

题号 成绩

一．

一 二 三 四 总分 是非判断题： （每题2分, 共20分）

x?x01. 若f?x?在x0处连续，则limf(x)存在。 （ √ ） 2.函数f?x?在区间?a,b?上一致连续?f(x)在?a,b?上连续。（√ ）

3. 若函数f?x?在?a,b?上有界，则f?x?在?a,b?上可积。 （× ）

??4.若反常积分

?a f(x)dx收敛,则f?x??0(x???)。 （× ）

5. 若?un条件收敛，?vn绝对收敛，则 ?(un?vn)条件收敛

（ √）

6.二元函数f?x,y?在(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在，则f?x,y?在(x0,y0)处连续。 （ ×）

1

7. 级数?un?x?在?a,b?上一致收敛?un?x?一致收敛于0

(n??) （ × ）

8. 二元函数f?x,y?在(x0,y0)处两个累次极限存在且相等并不能保证f?x,y?在(x0,y0)处的二重极限存在。 （ √ ） 9. 单调函数只有第一类间断点。 （ √ ） 10. ?P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关?在区域D上，P,Q满足

AB?Q?P(x,y)?(x,y),?(x,y)?D。 （ × ） ?x?y 二. 填空: （共12分）

x2(1). F(x)??sint2dt，则F'(x)?2xsinx4?sinx2。

x(2).?1，当p?1 时收敛，当p?1时发散 pn?11?n2?x4n?2(3) sinx的麦克劳林展开式为?(?1),x????,???

(2n?1)!n?0?n(4) ?xydx?L1 其中L为从（0，0）到（1，1）的抛物线y?x2的4一段。

(5). ??(x2?y2)d??D15?，其中D?(x,y)1?x2?y2?4 。 2??

三. 计算题: （共40分）

xb(1) 求极限limcx,(c?0,b?0);

x???e

2

解：当b为整数时

xbbxb?1lim?limcx??(1')x???ecxx???ce b?2b(b?1)x?limx???c2ecxb!??(4')x???cbecx ?0??(5')?limx??xbx?? 当b不为整数时ecx?ecx?ecx??(7')

bb?1x??lim?0x???ecxbx??lim?0??(9') x???ecxb?1xb由迫敛性得limcx?0??(10')

x???en2（2）讨论数项级数?的敛散性

1nn?1(2?)n?解：

n2un?LL(1')1n(2?)nlim(n??n21(2?)nn)?lim1n(n)1??1LL(8')n??122?n12n

3

由根

n2收敛。(10’) ?1n?1(2?)nn?x(3) 计算积分?其中L为y?x2与?e?(y?siny)dx?(2?cosy)dy?。

Ly?x所围成的闭型区域.

解：P?ex(y?siny),Q?ex(2?cosy)连续，

?Q?P??ex(2?cosy)?ex(1?cosy)?ex??(4') ?x?y由格林公式

??e?(y?siny)dx?(2?cosy)dy?xL???exdxdy(D:(x,y)x2?y?x,0?x?1L(8')

D1x????dx?exdxdy?3?eL(10')0x2(4) 设函数f?x?在?0,???上可导且f?0??0，试求

1li?m4t?0?t???Vf222(x?y?2z)dxd; yd其z中积分区域为

V:2x?y?2z?。 tx?rsin?cos?解：y?rsin?sin?，0?r?t,0????,0???2?

z?rcos?t?0lim?1?t4???Vf(x2?y2?z2)dxdydz

2?lim?t?01?t4???f(r)rV'sin?drd?d? 4

2?1?lim4t?0??t?lim?t?0?t2d?d?f(r)rsin?dr??(6')???000t124?f(r)rdr??(8')4??t0

f(t)?f?0?f(t)t2?lim?lim?f'(0)LL(10') 3?t?0?t?0tt?0四. 证明题: (共计28分) (1) 证明?证明: ???1?nnx22n?1?x?x22n在[-1,1]上一致收敛

??1??1?x? 为交错级数

R(x)?un?1n???x?[?1,1]x2x21???(1?x2)n?1?n?1?x2n?1

limsupR(x)?0 则???1?nx22n?1?x?在[-1,1]上一致收敛 (7’)

(2). 设函数f?x?在??1,1?上可导，f(0)?1,f(?1)?f(1)?0。试证

?a?(?1,1),???(?1,1)使f'(?)?a。

证明 作函数F?x??f?x??ax 则F?0??1,F?1???a,F??1??a 由f?x?在??1,1?上可导知f?x?在??1,1?上连续,再由a?1 由连续函数的介值定理知对a?b?1 存在?1???1,0?,使F??1??b,存在?2??0,1?,使F??2??b

则F??1?=F??2? (5’) 由f?x?在??1,?2????1,1?上连续

5

f?x?在??1,?2????1,1?上可导 ,F??1?=F??2? 由罗尔中值定理知存在????1,?2?使F?????0

即???(?1,1)使f'(?)?a (7’) (3). 设函数f?x?在?a,b?上连续，对任何x??a,b?,f(x)?0，试用有限覆盖证明：必存在c?0使得对任何x??a,b?,对任何f(x)?c 证明 （1）f?x?在?a,b?上连续??xi??a,b?,f在xi连续，

f(xi)?0由保号性若取ri?U(ix?)?(xi?f(xi)2，则存在

??,ix 使得 ?x?U(xi),f(x)?ri??(3')。

（2）(xi??,xi??)?xi??a,b?为?a,b?的一个无限开覆盖，

根据有限覆盖定理知?a,b?存在一个有限开覆盖

???(x??,x??)i?1,Ln?LL(5')

ii （3）?x??a,b?，存在i使得x?(xi??,xi??)，由（1）知道

f(x)?ri取c?min1?i?n?ri? 则?x??a,b?,f(x)?cLL(7') (4)设f?x?在?0,a?上有连续导数,且f?0??0,

a则

?0Ma2f(x)dx?,M?maxf'(x)

0?x?a2证:f?x??f?0??f????x 0???x 由f?0??0 则f?x??f????x?Mx

aa则

?f(x)dx??00Ma2 (7’) f(x)dx??Mxdx?206

a

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