第三章第九讲：燕尾定理.题库教师版(3)

燕尾定理

【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，

则阴影四边形的面积是多少？

AD377AEx+3ED73F7xB3F77CBC

【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.

再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．

设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF?FE，再连结DE． 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，

则x:?3?3??AD:DB??x?10?:10，所以x?15，四边形的面积为18．

方法二：设S△ADF?x，根据燕尾定理S△ABF:S△BFC?S△AFE:S△EFC,得到S△AEF?x?3，再根据向右下飞的燕子，有(x?3?7):7?x:3，解得x?7.5四边形的面积为7.5?7.5?3?18

【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积

是 ．

2134

【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的

字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：

2:S阴影??1?3?:4，解得S阴影?2.

方法二：回顾下燕尾定理，有2:（S阴影?4）?1:3，解得S阴影?2.

【例 10】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?

AF84O403035EB【解析】 设S△BOF

?x，由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得

DC33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x，

443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE，列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56

4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70

所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315

【例 11】 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分

的面积．

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燕尾定理

AADEDEMNBFCBFC

【解析】 令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．

在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM?AE:CE?1:1,S△ACM:S△BCM?AD:BD?1:1,

1所以S△ABM?S△ACM?S△BCN?S△ABC

311由于S△AEM?S△AMC?S△ABMS，所以BM:ME?2:1

22在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN?BF:CF?1:1S△CEN:S△CBN?ME:MB?1:2

设S△CEN?1(份)，则S△BEN?1(份)，S△BCN?2(份)，S△BCE?4(份)，

1111所以S△BCN?S△BCE?S△ABC,S△BNE?S△BCE?S△ABC，因为BM:ME?2:1,F为BC中点,

244822111111所以S△BMN?S△BNE??S△ABC?S△ABC,S△BFN?S△BNC???S△ABC,

33812224855?11?S△ABC??15?3.125(平方厘米) 所以S阴影????S△ABC?1282424??

【例 12】 如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，

AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMBDENFC【解析】 连接CM、CN．

1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；

5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以AN:NF?4:3，那么

S△ANG151542?2?S△ABC． ???，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?77428S△AFC24?37??15根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)

528

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，

若?ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

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燕尾定理

ADNCBADNBEMMCFE

【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，

那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．

根据燕尾定理，S?ABM:S?ACM?BF:CF?2:1，而S?ACM?2S?ADM，所以S?ABM?2S?ACM?4S?ADM，那

4么BM?4DM，即BM?BD．

5BMBF4214147那么S?BMF?． ??S?BCD????，S四边形CDMF???BDBC53215215301111另解：得出S?ABM?2S?ACM?4S?ADM后，可得S?ADM?S?ABD???，

55210117则S四边形CDMF?S?ACF?S?ADM???．

31030

【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，

请写出这9部分的面积各是多少?

FAAGGPQFBBFNDECM

【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，

CQ，CM，CN．

根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则

1S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?

5211213121同理可得，S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???．

72375353721311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????

3357042321426321642

【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四

边形JKIH的面积是多少？

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燕尾定理

CFGKAIHB

CDEAGKIHB

JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．

根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，

1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK??，S?AGK?S?ACK?．

1?2?473212类似分析可得S?AGI?．

151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?．

41117那么，SCGKJ???．

4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为

84172161619，所以四边形JKIH的面积为1?SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2????．

84153707070

BD:DE:EC?1:2:1，CF:FG:GA?1:2:1，AH:HI:IB?1:2:1，【例 14】 如右图，面积为1的△ABC中，

求阴影部分面积．

AHGHNMFPECAGIBDEFCBID

【解析】 设IG交HF于M，IG交HD于N，DF交EI于P．连接AM， IF ．

9 ∵AI:AB?3:4，AF:AC?3:4，?S△AIF?S△ABC

16 ∵S△FIM:S△AMF?IH:HA?2，S△FIM:S△AIM?FG:GA?2，

193 ∴S△AIM?S△AIF?S△ABC ∵AH:AI?1:3 ∴S△AHM?S△ABC，

464643 ∵AH:AB?1:4 AF:AC?3:4 ∴S△AHF?S△ABC ．

163733同理 S△CFD?S△BDH?S△ABC ∴S△FDH?S△ABC HM:HF?:?1:4，

16166416 ∵ AI:AB?3:4,AF:AC?3:4， ∴IF∥BC ，

又∵IF:BC?3:4,DE:BC?1:2，

∴DE:IF?2:3,DP:PF?2:3，

同理 HN:ND?2:3，∵HM:HF?1:4，∴HN:HD?2:5，

177 ∴S△HMN?S△HDF?． S△ABC?101601604-2-4 燕尾定理 题库 page 14 of 17

燕尾定理

同理 6个小阴影三角形的面积均为 阴影部分面积?7． 160721?6?． 16080

【例 15】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴

影部分面积.

ADEIHEQBFGCBFGCDPAIMHN 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，

S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2

设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),

1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,

431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,

121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的

6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理

S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,

11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC

3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2

1所以S△ABP?S△ABC

51?11?11S△ABC 所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?105?52121?11同理另外两个五边形面积是△ABC面积的

10511113所以S阴影?1??3? ?3?610570

【例 16】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中

心六边形面积.

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