燕尾定理
燕尾定理：
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．
AEO
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC
AS2ES3BS1S4DCFBDC
【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，
所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.
【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在
BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．
AAAEBDFCB33EF312CD
EFBDC【解析】 方法一：连接CF，
SSBD1AE?，△ABF??1, 根据燕尾定理，△ABF?S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标 55所以SDCEF?S△ABC?
121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，
33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以
FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，
22323212
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燕尾定理
2115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．
32312
【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.
AEFFAEFAEBDCBDCBDC
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，
11所以S△ABE?S△ABC?10，S△ABD?S△ABC?15．
32SSAE1BD?，△ABF??1, 根据燕尾定理，△ABF?S△CBFEC2S△ACFCD
1所以S△ABF?S△ABC?7.5，S△BFD?15?7.5?7.5，
4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5．
1 (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10，
3AFS△ABE1112??， S△BDE?S△BEC??S△ABC?10，所以
FDS△BDE1223111111 S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5，
22323221 而S△CDE???S△ABC?10．所以阴影部分的面积为12.5．
32
【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3，
AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．
AAAEFBDCBFDCEEBDFC【解析】 连接CF，
S△ABFBD26SAE36???，△ABF???, S△ACFDC39S△CBFEC510根据燕尾定理，
设S△ABF?6份，则S△ACF?9份,S△BCF?10份，S△EFC?9?所以SDCFE?200?(6?9?10)?(5453份，S△CDF?10???6份，
3?582?34545?6)?8?(?6)?93(cm2) 88
EC?2AE，【巩固】如图，已知BD?3DC，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC
面积的几分之几？
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燕尾定理
AA11E24.5D1CEO9O213.5BDCB3
【解析】 连接CO,设S△AEO?1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC?1?2?9?18?30份，所以四部
12?4.5139313.59分按从小到大各占△ABC面积的, ?,?,?30306030103020
11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于
23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．
CCQXABAPQXBCPQ41XA14PB 【解析】 方法一：连接PQ．
11211由于CP?CB，CQ?CA，所以S?ABQ?S?ABC，S?BPQ?S?BCQ?S?ABC．
2332621由蝴蝶定理知，AX:XP?S?ABQ:S?BPQ?S?ABC:S?ABC?4:1，
3644122所以S?ABX?S?ABP??S?ABC?S?ABC??6?2.4．
55255方法二：连接CX设S△CPX?1份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4
【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD?2DC，CE?2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分
的面积各是多少?
AEFBDCB68A1F24ECD
【解析】 连接CF，设S△AEF?1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
16282?42S△AEF?,S△ABF??,S△BDF?,SFDCE??
2121721217
【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．
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燕尾定理
AAA1.6E2F2.412CDEFBDCBFDEBC【解析】 连接CF,根据燕尾定理，
SS△ABFBD1AE2??，△ABF??, S△ACFDC2S△CBFEC3CF
设S△BDF?1份，则S△D份,S△EFC?4?所以S△ABC?2份，S△ABF?2份，S△AFC?4份，S△AEF?4?2 6?1.2?33?2.4份,如图所标,所以SEFDC?2?2.4?4.4份,S△ABC?2?3?4?9份 2?3?22?4.4?9?45(cm2)
【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC?2，CD?2，CB?3，AM?BM，那么三角形AMN(阴影
部分)的面积为多少？
AMNCDBAMNCDB
【解析】 连接BN．
△ABC的面积为3?2?2?3
根据燕尾定理，△ACN:△ABN?CD:BD?2:1； 同理△CBN:△CAN?BM:AM?1:1
设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是1?1?2份，而△ACN的面积就是2?2?4份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为4?4?1?1?10份，所以△AMN的面积为3?10?1?0.3．
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米?
AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3xyCEG
C【解析】 设S△DEF?1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影?55S△BCD?平方厘米. 1212
【例 2】 如图所示，在四边形ABCD中，AB?3BE，AD?3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边
形BODC的面积为________．
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AF2EBOCDBE1A4O6F8D6C
【解析】 连接AO,BD,根据燕尾定理S△ABO:S△BDO?AF:FD?1:2,S△AOD:S△BOD?AE:BE?2:1,设
S△BEO?1,则其他图形面积，如图所标，所以SBODC?2SAEOF?2?12?24.
ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形【例 3】
AGCD的面积是_________平方厘米．
DCDCGFGFAEBGB，【解析】 连接AC、设S△AGC
?1份，根据燕尾定理得S△AGB?1份，S△BGC?1份，则S正方形?（1?1?1）?2?6AEB份，SADCG?3?1?4份，所以SADCG?122?6?4?96(cm2)
【例 4】 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的
面积是_____平方厘米．
ADADEGHEGH
【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD?1:2,设S△BHC?1份，根据燕尾定理S△CHD?2份，S△BHD?2份，
1277（1?2?2)?2?10份，SBFHG???，所以SBFHG?120?10??14(平方厘米). 因此S正方形?2366
【例 5】 如图所示，在△ABC中，BE:EC?3:1，D是AE的中点，那么AF:FC? ．
BFC
BFCAFAFDDBECBEC
【解析】 连接CD．
由于S△ABD:S△BED?1:1，S△BED:S△BCD?3:4，所以S△ABD:S△BCD?3:4，
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