四川省成都市2015年中考数学试题（word版，含解析）(3)

由CE2?2EF2?2(BE2?BF2)?6，解得CE? （2）连接BF，同理可得?EBF?90?，由

6。

ABEF?BCFC?k，可得BC:AB:AC?1:k:k2?1,

CF:EF:EC?1:k:k2?1 ACAE???k2?1，所以BF?BCBF2AE2，BF?2。 2k?1k?1AE2k2?1k2?12?EF?2(BE2?BF2) ?CE?2kkk2?122210?3?2(1?2)，解得k?。

kk?142 （3）连接BF，同理可得?EBF?90?，过C作CH?AB延长线于H，

可解得AB2:BC2:AC2?1:1:(2?2)，EF2:FC2:EC2?1:1:(2?2)，

n2?p?(2?2)EF?(2?2)(BE?BF)?(2?2)(m?)?(2?2)m2?n22?222222

D?p2?n2?(2?2)m2。

CDDC GGG

FpF EFnm

EEA

ABBHAB 图①图②图③

28．（本小题满分12分）

2

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

5

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；

4

C（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

y E O A A C B x D l

【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a；

（2）a＝－2

；

5

（3）P的坐标为（1，－

267

）或（1，－4）

7

【解析】：

（1）A（－1，0）

∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k ∴y＝kx＋k

令ax2

－2ax－3a＝kx＋k，即ax2

－(

2a＋k

)x－3a－k＝0 ∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4

∴－3－k

a

＝－1×4，∴k＝a

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a

（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F

设E（x，ax2

－2ax－3a），则F（x，ax＋a）

EF＝ax2

－2ax－3a－(

ax＋a)

＝ax2

－3ax－4a S△ACE

＝S△AFE

－ S△CFE

＝1 2(

ax2

－3ax－4a )( x＋1 )－12

2

(

ax

－3ax－4a

)x

＝1

2(

ax2

－3ax－4a )＝13225 2 a( x－ 2 )－ 8

a

∴△ACE的面积的最大值为－

25

8

a

∵△ACE的面积的最大值为5

4

∴－25

8

a＝52

4

，解得a＝－

5

（3）令ax2

－2ax－3a＝ax＋a，即ax2

－3ax－4a＝0 解得x1＝－1，x2＝4 ∴D（4，5a）

∵y＝ax2

－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1 设P（1，m）

y O C B x D l 备用图

y E O A C B x F D l y O A C B x D l Q P ①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a） m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°

∴AD222

＋PD ＝AP

∴52

＋(

5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( －1－122 )＋( 26a

)

即a2

1

＝

7

，∵a＜0，∴a＝－7

7

∴P1（1，－

267

）

7

②若AD是矩形的一条对角线

则线段AD的中点坐标为（32

，5a

2

），Q（2，－3a）

m＝5a－(

－3a

)＝8a，则P（1，8a） ∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°

∴AP2PD22

＋ ＝AD

∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝52 ＋(2

5a

)

即a2

＝1 4 ，∵a＜0，∴a＝－1

2

∴P2（1，－4）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为（1，－267

）或（1，－4）

7

y Q O A C B x D l P

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