3.2一元二次不等式及其解法 - 基础(2)

11.解下列不等式

(1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－x2＋8x－3＞0；

12. （2015秋 吉林校级期中）若不等式(1―a)x2―4x+6＞0的解集是{x｜－3＜x＜1}。 （1）解不等式2x2+(2―a)x―a＞0

（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R。

13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)． 14．已知f(x)?x2?2(a?2)x?4，

(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 15.解下列关于x的不等式 (ax?1)(x?1)?0；

【答案与解析】

1．【答案】 D

【解析】 9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0 ∴x??13，故选D.

2．【答案】 C

【解析】 ∵x2

＋4x＋4＝(x＋2)2

≥0， ∴A不正确；

∵x2?|x|?0，∴B不正确；

xx∵??1??2???0，∴??1??2???1?1?0(x∈R)，故C正确；

∵－x2＋2x－1>0 ∴x2－2x＋1＝(x－1)2<0， ∴D不正确．

3.【答案】B

【解析】因为x2?2x?3??x?1?2?2?2?0恒成立， 所以由不等式的性质可得x?8?2?x2?2x?3?。 故选:B.

4．【答案】 D

【解析】 ∵0＜t＜1，∴1t?1，∴t?1t

∴(x?t)(x?11t)?0?t?x?t.

5.【答案】C

【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得2?3?a，2?3??b，求得 a?5 ，b=-6，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为{x|?12?x??13}

6. 【答案】B 【解析】根据题意，由bx?a?x?bx?c?0的解集为(?1,?13)?(12,1)， 得

b?x?a??x?b?x?c?0的解集为??1??1???1,?2?????3,1??，

即

bx?a?x?bx?c?0的解集为????1,?1?2?????1?3,1???。 故选B。

7.【答案】(?1,2).

x2?x?2??1?x?2，解集为(?1,2). 8．【答案】{m|?1?22?m?2} 【解析】由题意得：

????0?x1?x2?0，解得?1?22?m?2 ??x1x2?0

9. 【答案】 ??0,4??9??

【解析】 由已知f(x)的定义域是R. 所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．

(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立； (2)当a≠0时，则有??a?0?a?0?a?0???0???(3a)2?4a?0???a(9a?4)?0????0?a?49. 由(1)(2)知，0?a?49. 即所求a的取值范围是??0,4???9?.

10.【答案】2

?6【解析】由题意，得1，m是关于x的方程ax2?6x?a2?0的两根，则??1?m??a解得 ?21?m?a??a【解析】由题意得： m?2或m??3（舍去）

11．【解析】

(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，

所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x11＝－3，x2??2. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，

所以原不等式的解集为???x|x??12或x??3???.

(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根

x1?4?13，x2?4?13. 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为?x|4?13?x?4?13?．

12.【解析】

（1）由题意知，1－a＜0，且―3和1是方程(1―a)2x―4x+6=0的两根，

???1?a?0∴??4?a??2，解得a=3。 ?1??6?1?a??3∴不等式2x2+(2―a)x―a＞0即为2x2―x―3＞0，解得x＜－1或x?32。 ∴所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x?32}； （2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，

若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6。

13.【解析】 当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，所以原不等式的解集为R. 当m≠0时，m2＞0，

由m2x2

＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，

即???x?1??3?m????x?m???0，

若m＞0，则1m??3m，

所以原不等式的解集为??31???m,m??；

若m＜0，则

1m??3m， 所以原不等式的解集为??13??m,?m??. 综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R； 当m＞0时，原不等式的解集为????3m,1?m??； 当m＜0时，原不等式的解集为??1?m,?3?m??.

14．【解析】

(1)由题意得：△=[2(a?2)]2?16?0，即0

(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：

??2?a?[?3,1]?f(?3)?0 或?2?a?[?3,1] ???f(1)?0?f(2?a)?0综上所述：a????1,4???2?.

15.【解析】

当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1； 当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，

方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根x11?a和x2??1. (Ⅰ)当x11?x2，即

a??1，?1?a?0时， 函数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：

故不等式(ax?1)(x?1)?0的解集为??1,?1???a?； (Ⅱ)当x1?x12，即

a??1,a??1时， 函数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：

故不等式(ax?1)(x?1)?0的解集为空集； (Ⅲ)当x1?x2，即

1??1，a??1或a?0， a①若a??1，函数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：

故不等式(ax?1)(x?1)?0的解集为??1,?；

②若a>0，数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：

??1?a?

故不等(ax?1)(x?1)?0的解集为(??,?1)??综上所述，

当a<-1时，不等式的解集为??1,?； 当a=-1时，不等式的解集为空集； 当-1

当a>0时，不等式的解集为(??,?1)??,???.

?1?a??

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