四边形知识总结与练习题

第十九章 四边形

1. 知识总结

一、平行四边形

1．定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （?）两组对边分别平行；?1（?2）两组对边分别相等；2．性质： 四边形ABCD是平行四边形??（?3）两组对角分别相等； ?（?4）对角线互相平分；?（?5）邻角互补.（1）两组对边分别平行?（2）两组对边分别相等??3．判定： （3）两组对角分别相等??ABCD是平行四边形

（4）一组对边平行且相等??（5）对角线互相平分??二、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形.

（?1）具有平行四边形的所有通性;2．性质： 四边形ABCD是矩形??（?2）四个角都是直角; ?（?3）对角线相等.（1）平行四边形?一个直角?3．判定： （2）三个角都是直角???四边形ABCD是矩形.

（3）对角线相等的平行四边形??三、菱形

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形.

（?）具有平行四边形的所有通性；2．性质： 四边形ABCD是菱形??1（?2）四个边都相等； ?（?3）对角线垂直且平分对角.（1）平行四边形?一组邻边等?3．判定： （2）四个边都相等???四边形ABCD是菱形.

（3）对角线垂直的平行四边形??三、正方形

1．定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形.

（?）具有平行四边形的所有通性；2．性质： 四边形ABCD是正方形?（?1?2）四个边都相等，四个角都是直角；（??3）对角线相等垂直且平分对角.

DCOAB1

（1）平行四边形?一组邻边等?一个直角??3．判定： （2）菱形?一个直角??四边形ABCD是正方形.

?（3）矩形?一组邻边等?三、梯形

1．梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 2．直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 3．等腰梯形的定义：两腰相等的梯形.

4．等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等. 5．等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形.

6．解梯形问题常用的辅助线：如图

2. 练习题

一. 选择题

1．下列命题错误的是( )

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形

C． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 2．下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（ ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形 3．顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ( ) A．平行四边形

B．菱形 C．矩形 D．正方形

4．下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．正六边形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等边三角形

5．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ）

A．4cm，10cm B．8cm，20cm C．2cm，5cm D．14cm，28cm

A M A

O

D

F N

B

E

C

2

D B

C

6．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，?要使中间阴影部分的小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（ ）

A．25 B．35 C．5 D．5 ，AB?2，则矩形的对角7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，?AOB?60°线AC的长是（ ）

A．2

B．4

C．23

D．43 8．如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长

线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=42，则ΔCEF的周长为（ ）

A.8 B.9.5 C.10 D.11.5

9．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，则∠C＝（ ） A、30° B、45° C、60° D、75° 10．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ） A．3cm 二. 填空题

1．如图，在ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB?的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD= .

B．4cm

C．5cm

D．6cm

2．如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度．

3．如图，已知：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD?于点E，交CD的延长线于点F，则DF=______cm．

4．如图，在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD.BD的中点，连接EF．若EF＝3，则CD的长为 ．

?ABD?120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB?4，CD?53，5．如图，四边形ABDC中，

则该四边形的面积是 ．

D

A B

C

D B A O C E

D A 1

B

B C A

65°

l

?C m

6．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长是 cm．

3

7．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离

AB?BC?16cm，则∠1? 度．

8．如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则??? 度． 9．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE?BD于E，若

OE∶ED?1∶3，则BD? ． AE?3，10．若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度．

三. 解答题

1．已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证： （1）△ADF≌△CBE； （2）EB∥DF．

2．如图,在平行四边形ABCD中，E为BC的中点， 连接AE并延长交DC的延长线于点F． (1)求证：AB?CF；

(2)当BC与AF满足什么数量关系时， 四边形ABFC是矩形，并说明理由．

3．如图，在ABCD中， E、F?是对角线AC上的两点，请你再添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，你添加的条件是 ,说明你的理由．

4．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD是菱形； （2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

4

DACBEFDFEABC5．如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，?且CE=CF． （1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHG的度数．

6．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，?试求此梯形的面积．

7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

8．如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么四边形？写出理由．

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

9．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG． （1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

5

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