高中数学选修2-1练习题(含答案)辅导(2)

7．B 解：?OAB的面积为

12ab，四边形OAPB的面积大于 ?OAB的面积而小于?OAB的面积的2倍，故选B。

8．4,或?5c2k?8?4 解：当k?8?9时，e2?9a2?k?8?14,k?4； c2当k?8?9时，e2?9?k?8a2?9?14,k??54 9．8 解：依题直线AB过椭圆的左焦点F1,在?F2AB 中，

|F2A|?|F2B|?|AB|?4a?20，又|F2A|?|F2B|?12，∴|AB|?8.

10．(?35,35) 可以证明PF1?a?ex,PF22552?a?ex,且PF21?PF2?F1F2 而a?3,b?2,c?5,e?5，则(a?ex)23?(a?ex)2?(2c)2,2a2?2e2x2?20,e2x2?1x2?111353e2,?e?x?e,即?55?e?5 11.A 12.D 13B 14. a或2a；

15.33 A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),AC?(1,1,0),DA1?(0,?1,1) 设MN?(x,y,z),MN?AC,MN?DA1,x?y?0,?y?z?0,令y?t 则MN?(?t,t,t)，而另可设M(m,m,0),N(0,a,b),MN?(?m,a?m,b)

???m??t?a?m?t,N(0,2t,t),2t?t?1,t?1，MN?(?1,1,11113 ??b?t3333),MN?9?9?9?3； 16.

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二、解答题 1．解：因为e?aac，F2到l的距离d?c?c，所以由题设得

??a2 ???c2 解得c?2,a?2 由b2?a2?c2?2，得b?2 ?a??c?c?2

6

（Ⅱ）由c?2,a?2得F1??2,0?,F2?2,0?，l的方程为x?22 故可设M?22,y1?,N?22,y2?

由知FM1?F2N?0知 ?22?2,y1???22?2,y2??0

得y61y2??6，所以y1y2?0,y2??y 1 MN?y?61?y2?y1y?y11??26 1y1当且仅当y1??6时，上式取等号，此时y2??y1 所以，F1F2?F2M?F2N???22,0???2,y1???2,y2???0,y1?y2??0

2．解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形， 所以OF?32MN,1?32b23,解得b＝3. a2?b2?1?4，因此，椭圆方程为x2y24?3?1. (Ⅱ) 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

OA2?OB2?2a2,AB2?4a2(a2?1),因此，恒有OA2?OB2?AB2.

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x?my?1代入x2y2a2?b2?1,

整理得(a2?b2m2)y2?2b2my?b2?a2b2?0,

所以y??2b2mb2?a2b21?y2a2?b2m2,y1y2?a2?b2m2 因为恒有OA2?OB2?AB2，所以?AOB恒为钝角. 即OAOB?(x1,y1)(x2,y2)?x1x2?y1y2?0恒成立.

x1x2?y1y2?(my1?1)(my2?1)?y1y2?(m2?1)y1y2?m(y1?y2)?1

(m2?1)(b2?a2b2)2b2m2?m2a2b2?b2?a2?a2?b2m2?a?b2m2?1?b2?a22a2?b2m2?0.

7

又a?bm?0，所以?mab?b?ab?a?0对m?R恒成立， 即mab?a?b?ab对m?R恒成立，当m?R时，mab最小值为0， 所以a?b?ab?0， a2?b2(a2?1)?b4,

222222222222222222222222∵a?0,b?0,∴a?b2?a2?1，即a2?a?1?0,

解得a?1?51?51?5或a?(舍去)，即a?, 2221?5,??). 2综合（i）(ii)，a的取值范围为(x2?y2?1， 3．解（Ⅰ）：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)． 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2， 且x1，x2满足方程(1?4k2)x2?4， 故x2??x1?y B O E F D A x 21?4k2． ①

由ED?6DF知x0?x1?6(x2?x0)，得x0?由D在AB上知x0?2kx0?2，得x0?所以

1510； (6x2?x1)?x2?27771?4k2． 1?2k232102，化简得24k?25k?6?0，解得k?或k?． ?381?2k71?4k2（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

h1?x1?2kx1?25x2?2kx2?25?2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2，

h2??2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2．

又AB?22?1?5，所以四边形AEBF的面积为

11S?AB(h1?h2)?22

54(1?2k)1?4k2?4k≤22， ??22221?4k1?4k5(1?4k)2(1?2k)8

当2k?1，即当k?1时，上式取等号．所以S的最大值为22． 2解法二：由题设，BO?1，AO?2．

设y1?kx1，y2?kx2，由①得x2?0，y2??y1?0， 故四边形AEBF的面积为

22?4y2?4x2y2 S?S△BEF?S△AEF?x2?2y2?(x2?2y2)2?x222≤2(x2?4y2)?22，

当x2?2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22．

4.【解析】（Ⅰ）过G点存在直线l使OEl，理由如下：

由题可知O为BD的中点，又E为PD的中点，所以在?PBD中，有OE//PB. 若点G在直线PB上，则直线PB即为所求作直线l，所以有OE//l； 若点G不在直线PB上，在平面PAB内，过点G作直线l，使l//PB， 又OE//PB，所以OE//l，即过G点存在直线l使OE//l.

（Ⅱ）连接EA，EC，则平面ACE将几何体分成两部分：三棱锥D?AEC与几何体AECBP（如

图所示）.

因为平面ABCD?平面PAB，且交线为AB，

又PB?AB，所以PB?平面ABCD，故PB为几何体P?ABCD的高. 又四边形ABCD为菱形，?ABC?120?，AB?a，PB?3a， 所以S四边形ABCD?2?所以VP?ABCD又OE//3232a?a， 4213211a?3a?a3. ?S四边形ABCD?PB??32231PB，所以OE?平面ACD， 21113所以V三棱锥D?AEC?V三棱锥E?ACD? S?ACD?EO? VP?ABCD?a，

348131333所以几何体AECBP的体积V?VP?ABCD?V三棱锥D?EAC?a?a?a.

288

5.

21.证明：以

为坐标原点

长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（1）因

9

（2）平面 的一个法向量设为 ，

平面 的一个法向量设为 ，

所求二面角的余弦值为

6.解析：（1）证明：取AC的中点O，连接OS,OB 因为SA?SC，BA?BC，所以AC?SO且AC?BO.

因为平面SAC?平面ABC，平面SAC?平面ABC?AC，所以SO?平面ABC 所以SO?BO.

如右图所示，建立空间直角坐标系O?xyx 则A(2,0,0),C(?2,0,0),S(0,0,2),B(0,23,0) 所以AC?(?4,0,0),BS?(0,?23,2) 因为AC?BS?(?4,0,0)?(0,?23,2)?0 所以AC?SB

（2）由（1）得M(1,3,0)，所以CM?(3,3,0),CS?(2,0,2) 设n?(x,y,z)为平面SCM的一个法向量，则

???n?CM?3x?3y?0?n?CS?2x?2z?0，取z?1，则x??1,y?3 所以n?(?1,3,1) ?又因为OS?(0,0,2)为平面ABC的一个法向量，所以cosn,OS?n?OS5nOS?5 所以二面角S?CM?A的余弦值为

55.

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