三年高考(2015 - 2017)高考数学试题分项版解析专题18双曲线理

专题18 双曲线

x2y21.【2017课标II，理9】若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆

ab?x?2?2?y2?4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A．2 B．3 C．【答案】A 【解析】

2 D．23 3

即：

4?c2?a2?c2?3，整理可得：c2?4a2,

c2?4?2。故选A。 双曲线的离心率e?a2【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式

【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式e?c； a2

2

2

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b＝c－a转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。

2

x2y252.【2017课标3，理5】已知双曲线C：2?2?1 (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y?x,

ab2x2y2??1有公共焦点，则C的方程为 且与椭圆

123x2y2?1 A．?810x2y2?1 B．?45x2y2?1 C．?54x2y2?1 D．?43 1

【答案】B 【解析】

x2y2b试题分析：双曲线C：2?2?1 (a＞0,b＞0)的渐近线方程为y??x，

aab椭圆中：a2?12,b2?3,?c2?a2?b2?9,c?3，椭圆，即双曲线的焦点为??3,0?，

?b5??a2??222据此可得双曲线中的方程组：?c?a?b，解得：a2?4,b2?5，

?c?3???x?y2??1 . 则双曲线C的方程为

45故选B.

x2y23.【2017天津，理5】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2.若

ab经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2??1（B）??1（C）??1（D）??1（A）

44884884

【答案】B

4x2y2??1?c?4,a?b?22???1，选B. 【解析】由题意得a?b,?c88【考点】双曲线的标准方程

【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设

x2y2双曲线（1）双曲线过两点可设为mx?ny?1(mn?0)，（2）与2?2?1共渐近线的双曲

ab22 2

x2y2线可设为2?2??(??0)，（3）等轴双曲线可设为x2?y2??(??0)等，均为待定系数

ab法求标准方程.

x2y2?2?1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的4.【2016高考新课标1卷】已知方程2m?n3m?n距离为4,则n的取值范围是( )

（A）??1,3?（B）?1,3（C）?0,3?（D）0,3 【答案】A 【解析】

x2y2试题分析：2?2?1表示双曲线,则m2?n3m2?n?0

m?n3m?n????????∴?m2?n?3m2,由双曲线性质知：c2?m2?n?3m2?n?4m2,其中是半焦距 ∴焦距2c?2?2m?4,解得m?1,∴?1?n?3,故选A． 考点：双曲线的性质

????x2y25.【2016高考新课标2理数】已知F1,F2是双曲线E:2?2?1的左，右焦点，点M在E上，

ab1MF1与轴垂直，sin?MF2F1?,则E的离心率为（ ）

3（A）2（B）

3（C）3（D）2 2【答案】A 【解析】

1b2b2,MF2?2a?，因为sin?MF2F1?，试题分析：因为MF1垂直于x轴，所以MF1?3aaMF1?MF2b2ab1，化简得b?a，故双曲线离心率e?1??2.选A.

a3即

b22a?a?考点：双曲线的性质.离心率.

【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a＝b＋c，而在双曲线中c＝a＋b.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．

2

2

2

2

2

2

3

6.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（） A．5 B． C．3 D．2 【答案】D

【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．

【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．

y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的7.【2015高考四川，理5】过双曲线x?32两条渐近线于A，B两点，则AB?（） (A)

43 (B)23 (C)6 （D）43 3【答案】D 【解析】

y2?0，将双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x?2，渐近线方程为x?32y2x?2代入x??0得：y2?12,y??23,?|AB|?43.选dreamsummit.

32

4

x2y2?=1（b>0）8.【2016高考天津理数】已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为4b2半径长

的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的

方程为（）

x23y2x24y2x2y2x2y2?=1（B）?=1（C）?2=1（D）?=1（A）44434b412

【答案】D 【解析】

4?x??x?y?4?b2?4??试题分析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x,y)，∴?， ??b4b?y?x?y???2?b2?42?22x2y216bb2???b?12，故双曲线的方程为??1，故选D. ∴xy?2b?422412考点：双曲线渐近线

【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：

(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．

(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax＋By＝1(AB＜0)． ②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)．

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x2?y2?1上的一点，F1,F2是9.【2015高考新课标1，理5】已知M（x0,y0）是双曲线C：2??????????C上的两个焦点，若MF1?MF2?0，则y0的取值范围是( )

（A）（-33，） 33（B）（-33，） 66（C）（?【答案】A

22222323，）（D）（?，） 33332??????????x02?y0?1，所以MF1?MF2= 【解析】由题知F1(?3,0),F2(3,0)，2222(?3?x0,?y0)?(3?x0,?y0) =x0?y0?3?3y0?1?0，解得?33，故选A. ?y0?33 5

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