完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案

完全平方公式的几何背景专题训练试题精选

一．选择题（共6小题） 1．（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验

证的式子是（ ）

22222 （m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B． （m+n）2﹣（m2+n2）=2mn C． A．（m﹣n）+2mn=m+n D（m+n）（m﹣n）=m﹣n ． 2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2

=a+2ab+b．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）

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22 A．（a+b）（a﹣b）=a﹣b B． （a﹣b）=a﹣2ab+b C． a（a+b）=a+ab 3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）

2222D． a（a﹣b）=a﹣ab 2

222222222 A．C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） B． （a+b）=a+2ab+b （a﹣b）=a﹣2ab+b D． a（a+b）=a+ab 4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）

2 ab A．B． （a+b） 5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）

2C． （a﹣b） 22D． a﹣b

222222 A．a﹣b=a（a﹣b）+b（aB． （a﹣b）=a﹣2ab+b C． （a+b）=a+2ab+b ﹣b） 222

22D． a﹣b=（a+b）（a﹣b） 6．如果关于x的二次三项式x﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（ ） 8 A．8或﹣8 B． C． ﹣8 D． 无法确定 二．填空题（共7小题）

7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a、b（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为 _________ （用含a、b的代数式表示）

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8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是 _________ ．（用含m的代数式表示）

9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为 _________ ．

10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式 _________ ．

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11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为 _________ 平方米．

的环形小

12．如图，请写出三个代数式（a+b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是 _________ ．

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13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a= _________ ，b= _________ ．

三．解答题（共10小题） 14．阅读学习：

数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m+3mn+2n，

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（1）观察图2，请你写出（a+b），（a﹣b），ab之间的关系 _________ ． （2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形． ①a﹣4ab+4b= _________ ②ab= _________ ．

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15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：

如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD

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的面积．即：（a+b）=a+2ab+b．

【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．

如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣ _________ 的面积，即：（2a﹣b）（a+b）= _________ ． 【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）= _________ ．仿照上述方法，画图并说明．

16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图

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1可以得到（a+2b）（a+b）=a+3ab+2b．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 _________ ；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a+b+c的值；

（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给

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的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a+5ab+2b=（2a+b）（a+2b）．

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17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示） （2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．

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（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b），ab和（2a+b）的数量关系．

18．动手操作： 如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形． 提出问题： （1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；

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（2）请写出三个代数式（a+b），（a﹣b），ab之间的一个等量关系． 问题解决：

根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题： 已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）的值．

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