2014年 深圳 高二下学期期中考试（数学理科）(2)

由于c>1,只需要证

11??4 8分 lgalgb

即证

lga?lgb1?4需证?4

lgalgblgalgb1 9分 4需证0?lgalgb?由于ab=10, 则lgab=1即lga+lgb=1 而a,b均为大于1 的数，即lga>0

且lgb>0,则lga+lgb≥2lgalgb 0?lgalgb?1 11分 4故logac?logbc?4lgc 12分 16（满分12分）解：（1）将x?0， y?3代入函数y?2sin(?x??)得 sin????3，因为0≤?≤，所以??． 3分 232又因为y??2?cos(?x??)，y?x?0?2，???3，所以2?cos(??0??3)?2 即??2， 6分 （2），由（1）知y?2sin(2x?由五点法作图知，即当x??（8分） 由于y?2sin(2x??3)． 5????5?时，当sin(2x?)??1，取2x???，得x??1233212?3)周期为?即把y?2sin(2x??3)图像向右平移k??2?5?(k?Z)12单位时，得到函数的图像都关于y轴对称。 5?(k?Z) 10分 2125?由于m>0,故m的最小值为 12分

12即m=k???

17（满分14分）.

（1）证法一：取BE中点N，连MN，AN，则MN为三角形BCE中位线，所以

MN//BC，又∵AD//BC，

∴MN//AD，故D、M、N、A共面， 2分 又AD⊥平面ABE，∴MN⊥平面ABE，

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又∵BE?平面ABE，∴MN⊥BE 3分

又∵AE=AB，所以AN为等要直角三角形BAE底边BE上的高，即AN⊥BE 又∵AD∩NM=N

∴BE⊥平面ANMD 4分 又DM?平面ANMD

∴BE⊥DM。 5分

证法二：建立如图所示的空间直角坐标系并设EA=DA=AB=2CB=2 则D（0，0，2）、C（0，2，1）， B(0，2，0)，E(2，0，0)，M(1，1，(1) DM=(1，1，-

1)。 23)，EB =(-2，2，0) （3分） 2因为DM?EB=0从而得DM?EB (5分) (2) 解法一：设n1=（x，y，z）是平面BDM的法向量。 则由n1?DM, n1? DB及DM=（1，1，-3）， 2DB=(0，2，-2) ?3?n1?DM?0?x?y?z?0?得：? ??2???n1? DB?0?y?z?0可以取x=1，则n1=（1，2，2）。 （10分） 显然，n2=（1，0，0）为平面BDM的法向量。 （12分） 设二面角M-BD-A的平面角为?，则此二面角余弦值 cos?=cosn1,n2=n1?n2n1?n2=1 3（14分） 解法二：取AB中点F，取BD中点H，连NF,FH 由于FH为三角形DAB的中位线，所以FH//AD 所以HF⊥平面ABE，结合MN⊥平面ABE 则FH//MN 6分 又NF为三角形BAE的中位线，所以NF//AE 容易证明：EA⊥平面ABD

NF⊥平面ABD 7分 过M作MG⊥平面ABD，则BD⊥GM，

且垂足必然在FH上，过G作GP⊥BD交于P点 又∵MG?GP=G ∴BD⊥平面MGP ，MP?平面MGP

∴BD⊥MP∠GPM为二面角M-BD-A的平面角。 9分

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不妨设EA=DA=AB=2CB=4

由以上证明可知道NMGF为矩形，所以MG=NF=MN为三角形BCE中位线，所以MN=由于FH=

1AE=2， 21BC=1，即FG=NM=1 10分 21AD?2=BC且HF⊥AB，BC⊥AB，所以BCHF为正方形，则FC⊥BH 2FG=1=

1//1122FH，所以G为FH中点，则GPFC= 12分 2?22?2一442∴tan?MPG?MG2??22， GO22∴cos?MPG?分

11 14?21?tan?MPG318（满分14分）．解：（1）?f（x）-2是奇函数，? f（-x）-2= -?f(x)?2?， ?f（x）=ax3+bx2+cx+d,∴-ax3+bx2-cx+d-2=-ax3-bx2-cx-d+2, ∴bx2+d-2=0, ?x?R, ∴b=0,d=2, (2分) ∴f（x）=ax3+cx+2，∴f’(x)=3ax2+c ? f（x）在x= -1处取得极大值， ∴f’(-1)=0，∴3a+c=0, ∴c=-3a 3分 又?直线l：x-3y+1=0的斜率为1 ，f（x）的图像在原点处的切线与直线l垂直。 3∴f’(0)= -3，c= -3 ∴a=1， 5分 ∴ f’(x)=3x2-3=3（x-1）（x+1）， ?当x＜-1时，f（x）=x3-3x+2。f’(x)＞0，当-1＜x＜1时，f’(x) ＜0， ∴f（x）在x= -1处取得极大值，符合题意。 ∴f(x)?x?3x?2 7分

(2)由（1）知f（x）=ax3-3ax+2，f’(x)=3ax2-3a=3a（x-1）（x+1）， 8分 令f’(x)=0，得x=1或x= -1。

? f（x）在x= -1处取得极大值， 9分

∴当x＜ -1时，f’(x)＞0.当-1＜a＜1时，f’(x)＜0，

∴a＞0. 10分

当x???1,1?时，不等式f（x）?0恒成立等价于f（x）min?0， 11分

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3

， 12? f（x）在??1,1?上是减函数，∴ f（x）的最小值为f（1）

分

∴f（1）?0，∴ 2-2a?0，∴ a?1。 13分

综上所述，a的取值范围是0＜a?1。 14分

19（满分14分）．解：（1）设P(x,y),依题意，有 kpa?kpb=

yy3???（x??2） （2分） 2?xx?24x2y2??1(x??2)，这就是动点P的轨迹C的方程 （5分） 化简得43说明：没写x??2扣1分。 （2）解法一:依题意，可设M(x，y)、E(x+m，y+n)、F（x-m，y-n）， ?(x?m)2(y?n)2??1??43则有? （6分） 22?(x?m)?(y?n)?1?3?44mx4nyn3xy?0?=0 得到kEF==?=， （8分） 143m4yx?222由此得点M的轨迹方程为6x+8y-3x=0（x?0） （10分） 1设直线MA：x=qy+2（其中q=）， k两式相减，得则??x?qy?222?6x?8y?3x?0得到（6q2+8）y2+21qy+18=0 （12分） 故由??(21q)?72(6q?8)?0得出q?8,即221?8， k解之得k的取值范围是???11?,? 。 （14分） ?88?11x2y2??1相交的两点EF中点显解法二：当过点(,0)垂直于x轴的直线x?，与椭圆

2243然为(,0)，∴kAM?0，说明0是所求范围内的一个值。 （6分）

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11当直线过点(,0)不垂直x轴时设直线AEFM方程为y?u(x?)，

22

x2y2??1并整理得 代入43(3?4u2)x2?4u2x?u2?12?0 （*）

由于过椭圆内一点作直线与椭圆必然相交，所以??0，设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x,y) 那么x1,x2是方程（*）的两根，由韦达定理得 x4u2x1?x21?x2?3?4u2则x?2?2u23?4u2 ① 又y?y1?y2x?x213u2?u(12?2)??2(3?4u2) ② （ 8分） ①÷②得到:u??3x4y,又∵u?y?02yx?1?2x?1 （ 9分） 2∴?3x4y?2y2x?1 由此得点M的轨迹方程为6x2+8y2-3x=0（x?0） （10分） 以下解法同解法一. 2解

法三：由解法二知道：x?x1?x22u2?3?4u2y?y1?y22?u(x1?x213u2?2)??2(3?4u2) ?3u那么kMA?y?02(3?4u2)?3u2u1x?2x?2u2??6?6u2?4?4u2?1 3?4u2?24(u?u)当u>0时，

11u?u?2kMA??1?1

4(14?28u?u)当u<0时，∵

1(?u)?(?u)?2,∴1u?u??2k1MA???1 4(1u?u)8第 10 页 共 12 页

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