密码学习题

1、 凯撒要和马克。安东尼（Marc Antony）在台伯河（Tiber River）或者在竞技场(Coliseum

arena)安排一次会议，凯撒送去了密文EVIRE,安东尼不知道密钥，他尝试所有的可能。会面地点在哪里？

解:移位密码的加密过程:X|?X+K (mod 26) E V I R E E V I R E 4 21 8 17 4 4 21 8 17 4 R I v e r a r e n a 17 8 21 4 17 0 17 4 13 0 -13 -13 -13 -13 -13 4 4 4 4 4

经验证2处地方都成立,但Coliseum arena的长度为13,暗示密钥长度为13. ∴会面地点在台伯河（Tiber River）

2、 密文UCR是由仿射函数9x+2(mod 26)加密的。求明文。 解:y=9x+2(mod 26)?x=

1(y-2)(mod26). 9*K≡1(mod26)?K=3(为乘法逆元) 9∴x≡3(y-2)=3y-6≡3y+20(mod26)

∴U:3*20+20(mod26) ≡2?c；C:3*2+20(mod26) ≡0?a； R:3*17+20(mod26) ≡19?t ∴明文为:cat

3、 用仿射函数5x+7(mod 26)加密howareyou.。解密函数是什么？并检验。 解：x ≡

1(y-7) (mod26)；5K ≡1（mod26）?K=21 5∴x ≡21 (y-7) (mod26) ≡21y+9

4、 选择明文攻击，明文是hahaha，密文是NONONO。确定加密函数。

解：7(h),0(a)分别被映射成13(N),14(O)，有如下等式：

7α+β≡13和β≡14（mod 26）, 7α≡-1≡25(mod 26)解得α=11。 ∴加密函数为x|?11X+14

5、 密文CRWWZ由模26下的仿射密码加密的，明文以ha开头，解密。(參考2) 解：由已知有：7α+β≡2和β≡17（mod 26），7α≡-15≡11（mod26）解得α=9。 W：9*x1+17≡22（mod26） Z:9*x2+17≡25(mod26)解得x1=15, x2=24 ∴明文为： happy

6、 对明文先用仿射密码加密，再用仿射密码加密，这样做比用一次仿射密码加密有优势吗？why? 解：第一次：x|→α1x+β1 (mod26)

第二次：x|→αx2+β2 (mod26)，把αx1+β1 代入得： x|→α2[α1x+β1 (mod26)]+β2 (mod26)

∴x|→α1α2x (mod26)+ α2β1(mod26)+β2 (mod26) ∴x|→α1α2x+ α2β1+β2 (mod26)

∵gcd(α1,26)=1，gcd(α2,26)=1. ∴gcd(α1, α2,26)=1

令α3=α1α2, β3=α2β1+β2 ∴x|→α3x+β3 (mod26)

7、 用模27下仿射密码，有多少可能的密钥？在模29下呢？ 解：①x=

1(y-β)(mod27)；gcd(α,27)=1?α=1，2，4，5，7，8，10，11，13，14，16，á1(y-β)(mod29)；gcd(α,29)=1?α=1，2，3，4，5，6，7，8，…… á17，19，20，22，23，25，26；α*K≡1（mod27） ②x=

8、 用仿射密码加密一消息。令a=0,b=1,…z=25，同时还有?=26, ；=27， “=28，！=29。加密函数是x|→αx+β(mod30)，α、β为整数。 a. 对α 刚好有8种可能的选择。 b.用α=10，β=0，找出2个明文字母，它们的密

文字母是相同的。 解：a. x=

1(y-β)(mod30)；gcd(α,30)=1?α=1，7，11，13，17，19，23，29 á1b. x=y(mod30)；10*K≡1(mod30)?K=????/

10令y=0,则x=3,6,9，…，27

9、 用αX+β加密，但gcd(α,26)=d>1,证明：如果X1=X2+(26/d),那么αX1+β≡αX2+β（mod26）。这说明在这种情况下解密是不唯一的。 解：αx1+β≡α[X2+(26/d)]+ β（mod26）≡αX2+α(26/d)+ β（mod26） ≡αX2+ β（mod26）

X2=

11(y2-β) (mod26) X2+(26/d)=X1=(y1-β) (mod26) áá10、一门语言中只有字母a和b，a出现的频率上0.1，b是0.9。一消息用维吉内尔密码

加密（在模2下）密文是BABABAAABA。

a.证明：密钥的长度可能是2。B.利用字母频率的信息，确定密钥并解密消息。 解：移位，得到相同字母的对数：

原串： B A B A B A A A B A

B A B A B A A A B A 相同字母对数：2 B A B A B A A A B A 相同字母对数：6 B A B A B A A A B A 相同字母对数：2 B A B A B A A A B A 相同字母对数：5 当位移数是2时，相同字母对数最多，∴密钥长度为2。 观察第1，3，5，7，9位： A：1次，B：4次 观察第2，4，6，8，10位：A：5次，B：0次 b?B，密钥第一项为a，b?A，密钥第二项为b。 解密：b b b b b b a b b b

11、一门语言中只有字母a、b、c3个字母，出现的频率分别为0.7,0.2,0.1。密文

ABCBABBBAC是用维吉内尔密码加密的。假设密钥长度为1，2或者3。证明：密钥的长度很可能是2，并确定最有可能的密钥。 解：移位，得到相同字母的对数：

原串： A B C B A B B B A C

A B C B A B B B A C 相同字母对数：2

A B C B A B B B A C 相同字母对数：3 A B C B A B B B A C 相同字母对数：1 当位移数是2时，相同字母对数最多，∴密钥长度为2。 观察第i，i+2,……看哪个字母出现的频率最高。

观察第1，3，5，7，9位： A：3次，B：1次，C：1次 观察第2，4，6，8，10位：A：0次，B：4次，C：1次 a?A，密钥第一项为a；a?B，密钥第二项为B。

解密：a a c a a a b a a b [解密：A=a+?(mod3),B=b+?(mod3);……]

?913?12、密文YIFZMA是通过矩阵??23??的希尔密码加密的，求明文。

???313??913?解：M=??249?? ?23?? ，M-1 = ?????（24 8）???313??=(24x3+8x24 24x13+8x9）(mod26)=(4 20) ??249??313? (5 25) ??249??=(5x3+25x24 5x13+25x9) (mod26)=(17 4)

?? (12 0) ???313??=(12x3 12x13) (mod26)=(10 0) ??249?∴明文为：e u r e k a 注：A为要加密的消息（写成行向量），M为加密矩阵，则加密过程为：AM≡B(mod26) 解密过程为：A=B右乘M的逆(mod26)

13、密文GEZXDS通过2X2矩阵的希尔密码加密得到的，明文是solved，求加密矩阵M。 解：密文：G E Z X D S 6 4 25 23 3 18

明文：s o l v e d 18 14 11 21 4 3

?1121??ab??2523? AM=??43????cd??=??318??mod26

??????A?1=-

151?35??3?21???? (mod26)=?2211?? (-51K=1mod26?K=1) ??411??????35??2523??123?M=??2211????318??mod26≡??112??

??????14、 Eve夺得Bob的希尔密码机，使用的是模26下的2X2矩阵M，她试图用选择明文攻击，发现明文ba加密成HC，zz加密成GT。求M。

解：密文：H C G T 7 2 6 19

明文：b a z z 1 0 25 25 AM=???10??ab??72?1?1?????≡mod26；=A25??????2525??cd??619??250??10????mod26=??251??2525?? ????（注：25K=1(mod26)?K=25）

?10??72??72?M=??2525????619??mod26=??135??

??????15、a.密文ELNI是用2X2矩阵的希尔密码加密得到的，明文是don't。求加密矩阵。

b.假设密文是ELNK，明文仍是don't，求加密矩阵。

解：a.密文：E L N I -125*K≡1(mod26)?K=21 4 11 13 8 明文：d o n t 3 14 13 19 AM=??18??314??ab??411??1?9???????=mod26；= A????????1319??cd??138??1311??918??411??109?????mod26=??138??1323?? 1311?????? M=?? b.密文：E L N K 4 11 13 10

明文：d o n t 3 14 13 19

AM=??18??314??ab??411??1?9???????=mod26；= A????????1319??cd??1310??1311?M=??

?918??411??1019??????mod26= ??????1311??1310??1319??12?16、矩阵??3-4??用于希尔密码的加密矩阵，求2个明文，加密成相同的密文。

?? 解：

12??x,y)???3-4??=?x?3y,2x?4y?mod26

??111112X1+3y1≡(2X1+4y1) (mod26) ∵密文相同 ∴0≡(X1+y1) (mod26)

即满足：X1+y1=0或X1+y1=26

共有 种可能，如：X1=12,y1=14……

17、设a,b,c,d,e,f是模26下的整数，考虑下面希尔密码和仿射密码的组合，将一块

明文表示成(x,y)模26，相应的密文(u,v)是（x y）???ab??+(e f) ≡(u v) (mod 26) ??cd?如何用选择明文攻击这个系统，目标是找到密钥a,b,c,d,e,f，要明确说明你选择的明文和如何恢复密钥的。 解：

18、（课外）已知明文的什为x1,x2,x3,x4，加密后满足条件：（x1+2x2,3x2,x3+2x4,3x4）=(16,9,23,12)。求明文。

解:

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