概率论与数理统计(魏宗舒)答案(6)

11dx???21?x21?(y?x)2?2x?y12(x?y)?y?2[?]dx?y(y2?4)???x2?1(x?y)2?1证：

1?2[ln(x2?1)?yarctgx?ln((x?y)2?1)?yarctg(x?y)]|???2?y(y?4)2??(y2?4)p???(y)???1所以 p12(???)(z)?2112? 即??(???)也服从相同的柯西分布。 22?[(2z)?4]?(1?z)2??e??x p?(x)??x?0?0x?0x?0x?0

??e??x3.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数 p?(x)???0（其中??0,??0），求?+?的分布密度。

p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x解：x?0时， ???e??x?x0e?(???)ydy x?0时， p???(x)?0

????x??x??(???)[ee],?????2??x??????xe,3.53 设随机变量?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。

解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知， p???(x)?[min(x?1,1)?max(x,0)]???x?1?1?x?0

0?x?1?1?xF(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)在0?x?1时，|???|的分布函数

??(t?1)dt??(1?t)dt?2x?x2?x00x

所以|???|的分布密度为 p|???|(x)???2(1?x)0?x?1 其它?03.54 设随机变量?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。 解：由p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??e?x,x?0，所以 p???(x)??p?(y)p??(x?y)dy

???在x?0时， p???(x)???0?e???y?e?(x?y)?x??edy?(???)

在x?0时， p???(x)??x?e????e?(x?y)??x??edy?(???)???e?xx?0?(???)所以 p???(x)?? ??x???ex?0(???)?

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1??3.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为p?(x)???1?x2??0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?(x)?xe?x2x?|x|?1?xe? p?(y)????0|x|?1?3?12x222x?0 x?02,x?0得p1(x)?xe?2y?u?,x?0。故

p??(y)?p?1?(y)???y22???|x|p?(yx)p?(x)dx 令1122x22，则

p??(y)?12?e??0uedu???u12?e?y22 所以??服从N(0,1)分布。

3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。

1?解：p?(x)??p?(xz)p?(z)|z|dz??zp?(xz)dz

??a0??1当0?x?1时， p?(x)?2a??a011zdz? 当x?1时 p?(x)?22a??ax0zdz?1 22x?0x?0??0?x?1 所以?的密度函数为 p?(x)??12???1x?1??2x23.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求??的密度函数。

p?(x)??p?(xy)p?(y)|y|dy解：在x?0时，

???????e0?2??xye??y1ydy?(x?1)2 在x?0时，p?(x)?0。

??1?xy?|x|?1,|y|?13.60 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为 p(x,y)??4

?其它?0证明：?与?不独立，但?与?独立。

22x?1?1?x11?ty2证：由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。由于P(??x)???(?dy)dt?x0?x?1

?x?14?x?0?0x,y?1?1?xy?1?10?x?1,y?1??y11?tx?P(?2?y)???(?dx)dt?y0?y?1 P(?2?x,?2?y)??yx?1,0?y?1

?y?14??xy0?x,y?10y?0???其它?0

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所以对一切的x,y，都有P(??x,??y)?P(??x)P(??y)，故?与?相互独立。

222222???2?cos2x??x?3.61 设随机变量?具有密度函数 p(x)???22 求E?,D?。

?其它?0解：E??????22x2?cosxdx?0 D??E????x?222?222?cosxdx?2?212?1 2?x?3.62 设随机变量?具有密度函数 p(x)??2?x?0?解 E??0?x?11?x?2 求E?及D?。

其它13201?xdx??01221x(2?x)dx?1， E???xdx??x2(2?x)dx?7/6，D??E?2?(E?)2?1/6。

2?0?3.63 设随机变量?的分布函数为F(x)??a?barcsinx?1?解：由分布函数的左连续性， ?x??1?1?x?1试确定常数(a,b)，并求E?x?1与D?。

?a?b?arcsin1?1, 故a?1/2,b?1/?。

?a?b?arcsin0?0,11x11dx?0， E???x?d(?arcsinx)=??12?12??1?xD??E???1x?1?1?x2dx?2??1x2dx1?x20?2???/20sin2tdt?1/2。

3.64

?A?x??e?x/?,x?0 随机变量?具有密度函数p(x)?? 其中??1,??0,求常数A,E?及D?。

0,x?0?解：1??0?0A?x??e?x/?dx?A?????1y?e?ydy=A???1T(??1)， 故A?0?1。 ??1??T(??1)

E???A?x??1?e?x/?dx?A????2?T(??2)?(??1)?,E???A?x0??

??2?e?x/?dx?A????3?T(??3)222 =(??1)(??2)? D??E??(E?)?(??1)? 3.66 设随机变量?服从(?121?2211)上的均匀分布，求??sin??的数学期望与方差。 2,22121?2解：E???sin?xdx?0, D??E???sin2?xdx?1/2。

3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。

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解：设旅客候车时间为?（秒），则?服从?0,300?上的均匀分布，则

E???30003001122，E?2??， D??30000?150?7500(秒）。 ?x?dx?150（秒）?x2?dx?30000(秒2）03003003.71 设?1,?2,??n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的k(1?k?n)，有

??1????kE???????n?1nn?k???n。 ?n??证：?j/??i同分布(j?1,?,n)，又?j/??i?1，所以E??j/??i?都存在且相等(j?1,?,n)。由于

i?1i?1??i?1nn??1????k?n???1?E???i/??i??n?E??1/??i?，所以 E???????i?1i?1?i?1???n?1n???k??k?E?/??1?i??n。 ?i?1???3.72 设?是非负连续型随机变量，证明：对x?0，有 P(??x)?1?证：P(??x)?E?。 x?x0p?(t)?1??p?(t)dt?1??xr??xt1?E?。 ?p?(t)dt?1??t?p?(t)dt?1?xx0xE?r3.73 若对连续型随机变量?，有E???(r?0)，证明有P(???)??r。

证：P(???)??x??p?(x)dx??xx??r?r?p?(x)dx ?1?r????x?p?(x)?E?/?r。

rr3.75 已知随机变量?与?的相关系数为?，求?1?a??b与?1?c??d的相关系数，其中a,b,c,d均为常数，

a,c皆不为零。

解：??1?1?E?(?1?E?1)?(?1?E?1)?E(?1?E?2)1?E(?1?E?1)2=

ac?cov(?,?)a?D??c?D????ac?0ac????

??ac?0ac?3.81设随机变量?1,?2,?,?n中任意两个的相关系数都是?，试证：???证：0?E1。 n?1??n(?i?E?i)??i?1D?i?2?i?1n?2n1?i?j?n?D?1?D?j??i?1D?i?1???1。 n?1n!?i?j?n?(D?i?D?j)

=

?i?1D?1?1??(n?1)?， 故1??(n?1)?0,???p1/pp1/p3.84证明下述不等式（设?,?都是连续型或离散型随机变量）： （1）若?与?都有p?1阶矩，则有[E???]?[E?p] E????[E?'p]1/p ；

pp?2p?1(E?p?E?)

p(2)若?与?都具有p?0阶矩，则 E???p?2(E?证：（1）p?1时，[E???]p1/pppp?E?)

?[E?]1/p?[E?]1/p即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。

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x?y在p?1时，x是x的下凸函数，故

2pp|x|p?|y|ppp?1pp?即 |x?y|?2(|x|?|y|

2故 E???p?2p?1(E?p?E?

ppp|x?y|p?(|x|?|y|)p?|2x|p?|2y|p?2p(|x|p?|y|p)，（2）在p?0时，故E???p?2(E??E?)

p?(n?1)(n?2)?3.88 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为 p(x,y)??(1?x?y)n??0其中n?2。求??1条件下?的条件分布密度。

x?0,y?0其它

解：p?(x)???0?2n?1(n?1)(2?y)ny?0(n?1)(n?2)n?2 dy?,x?0。故 p?|?(y|1)??nn?1(1?x?y)(1?x)其它?023.89 设随机变量?服从N(m,?)分布，随机变量?在??x时的条件分布为N(x,?2)，求?的分布及?关于?的条件分布。

1?(x?m)2(y?x)2?exp??? 解：p(x,y)?p?(x)?p?|?(y|x)?? 222???2?2?????2??2?(y?m)2???exp???exp?? p?(y)??p(x,y)dx?22????22??2???2(???)2??????1?m?2?y?2????x???dx 22????????(y?m)2?22?exp???~N(m,???).p?|?(x|y) ，故 ?22222?(???)?2(???)?122222??(???)??m??y???(2???)?exp??， ?x??2222??2????????????p(x,y)p?(y)??2??2?2m??2y?2??2,)。 故在??y时，?的条件分布为N(22??????n,n?1?独立，证3.90 设?1,?2?,?n,?为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量?只取正整数值，且与?明： E??k?1?k??E?k?P(??k)

k?1???????s??s?证：E??k?E?E(??k?)? ??E???k??P(??s) ????E?k??P(??s)

k?1s?1s?1?k?1?k?1???k?1?????? ??E?k???P(??s)? ??E?k?P(??k)

k?1?s?k?k?1?3.91 求下列连续型分布的特征函数：（1）(?a,a)上的均匀分布(a?0)，

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