概率论与数理统计(魏宗舒)答案(5)

(x?0)?(y?0)?0?1??[sinx?siny?sin(x?y)]0?x?,0?y??22?2???1(sinx?1?cosx)0?x?,y? F(x,y)??222

?1??(1?siny?cosy)x?,0?y??222????1x?,y?22??ke?3x?4y3.24 设二维随机变数(?,?)的联合密度为 p(x,y)???0x?0,y?0其它

（1） 求常数k；（2）求相应的分布函数；（3）求P(0???1,0???2)。 解：（1）

??0??0ke?3x?4ydxdy?k??3xk， 所以k?12； edx??0412 （2）x?0,y?0时， F(x,y)? =(1?e?3x??12e0yxy?3t?48dtds?12(?edt)(?e?48ds)

00x?3ty)(1?e?4y?(1?e?3x)(1?e?4y))，所以 F(x,y)???0x?0,y?0其它?3

（3）P(0???1,0???2) =F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?F(0,0) =1?e3．25 设二维随机变数(?,?)有密度函数 p(x,y)??e?8?e?11。

A 222?(16?x)(25?y)求常数A及(?,?)的密度函数。

dtds?2??????(16?t2)(25?s2)??A解： ??? dxdy所以，A?20；

y?????2(16?x2)(25?y2)20xdtds?2(?)(?)22?????16?t25?s4A?dx?dyA?2???11x?y??016?x2?025?y220?2(arctg?)(arctg?)4252?????????F(x,y)??p(x,y)dxdyx?????yp(t,s)dtds?20xy?4xy0?x?1,0?y?1p(x,y)?3.26 设二维随机变数(?,?)的密度函数为 ?0其它?求（1）P(0???11,???1);(2)P(???);(3)P(???);(4)P(???)。 24 21

11111522(1)P(0???,???1)???14xydxdy?4?xdx?1ydy?;0024644411(2)P(???)?解：

x?y??4xydxdy?0;

1111(3)P(???)???4xydxdy???4xydydx??2(x?x2)dx?;0x02x?y(4)P(???)?12?11?0?x?1,0?y?23.28 设(?,?)的密度函数为 p(x,y)??2 求?与?中至少有一个小于的概率。

2?其它?01111P[(??)?(??)]?1?P(??,??)2222解：

??1115?1??1?1p(x,y)dxdy?1??1?1dxdy?8222223.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以?和?表示这两个组件的寿命（以小时计），设(?,?)的分布函数为

?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,y)???0x?0,y?0其它求两个组件的寿命都超过120的概率。

P(??120,??120)?1?P[(??120)?(??120)]?1?P(??120)?P(??120)?P(??120,??120)解：?1?F(120?0,?)?F(?,120?0)?F(120?0,120?0)

?1?(1?e?1.2)?(1?e?1.2)?(1?2e?1.2?e?2.4)?e?2.4?0.093.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使 p(x,y)?p1(x)p2(y)?h(x,y) 成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则 p(x,y)?0,所以条件(1)h(x,y)?p1(x)p2(y);(2)????????p(x,y)dxdy?1

????????h(x,y)dxdy?0得到满足。

反之，若条件（1），（2）满足，则 p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1 p(x,y)为二维分布的密度函数。

因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。 3.32 设二维随机变数(?,?)具有下列密度函数，求边际分布。

?2e?y?1?（1）p(x,y)??x3??0

(x2?y2)?1?12?ex?1,y?1 （2）p(x,y)????其它?0x?0,y?0或x?0,y?0

其它22

1?xk1?1(y?x)k2?1e?y?（3）p(x,y)???(k1)?(k2)??0解：（1）p?(x)?0?x?y其它

??12e?y?12dy?,(x?1)33xx2e?y?1dx?e?y?1,(y?1)3xp?(x)?0,(x?1)

p?(x)???1p?(x)?0,(y?1) 12??x22?（2）x?0时， p?(x)??01???e1?(x2?y2)2dy?e ；x?0时， p?(x)?y22?10?e1?(x2?y2)2dy?12?e?x22

所以，p?(x)?12?e?x22。同理，p?(y)?12?e?。

?xk1?11k2?1?y(y?x)edy?xk2?1e?x,(x?0) p?(x)?0,(x?0) （3）p?(x)???(k1)?(k2)x?(k1)ye?y1k1?1k2?1k1?k2?1p?(y)?x(y?x)dx?y,(y?0)?0?(k1)?(k2)?(k1?k2)

p?(y)?0,(y?0)3.34 证明：若随机变数?只取一个值a，则?与任意的随机变数?独立。

证：?的分布函数为 F?(x)???0x?a 设?的分布函数、(?,?)的联合分布函数分别为F?(y),F(x,y)。

?1x?a当x?a时，F(x,y)?P(??x,??y)?0?F?(x)F?(y)。

当x?a时，F(x,y)?P(??x,??y)?P(??y)?F?(x)F?(y)。所以，对任意实数x,y，都有

F(x,y)?F?(x)F?(y)，故?与?相互独立。

3.35 证明：若随机变数?与自己独立，则必有常数c，使P(??c)?1。

证：由于P(??x)?P(??x,??x)?P(??x)P(??x)，所以F(x)?[F(x)]，F(x)?0或1。由于

2?0x?c故P(??c)?1。 F(??)?0,F(??)?1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得 F(x)???0x?c?1?3.36设二维随机变量(?,?)的密度函数为 p(x,y)?????0问?与?是否独立？是否不相关？

x2?y2?1其它

23

解：p?(x)??1?x2dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。

同理，p?(y)?又因

21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。 由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。

p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov(?,?)?0， ?与?不相关。

?100?3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度： p(x)??x2??0x?100x?100

一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替

换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）

1002 dx??150x2333所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)?8；三个这类管子全部要替换的概率是(1?2)?1。

327327解：设这类电子管的寿命为?，则 P(??150)??3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为?，则其体积为??131??。y??x3的反函数x?36y?,dx?266336?y2dy。由?的密度

2??函数p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的密度函数为 p?(y)??(b?a)?336?y2?0?3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。

x?6a3?y??6b3,

其它。解：在x?0时， P(??x)?P(?x???x)?所以?的分布密度 p?(x)?2?12??xe?t22dt。

2/??e?x2/2,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。

3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。 解：

?y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分布密度为

?1?12??oxp??(lny?a)??y?0, 2p?(y)??2??y2????y?0.?03.47 随机变数?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上的均匀分布。证明??F?(?)的分布函数与?的分布函数相同。

解：因为?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上的均匀分布，所以??1 24

的分布函数F?(x)?P(??x)?P(F?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，对任意的x都成立。所以?与?的分布函数相同。

3.48 设随机变量?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，a?0。 a???b??；

解（1）p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。

?1p???(x)?????p?(x?y)?p?(y)dy =

1?man(x?b,?)(b?a)(???)dy

min(x?a,?) =?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，其它。 （2）p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。

p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy?????min(x?a,?)max(x,0)1/a2dy=?min(x?a,a)?max(x,0)?/a2

=

a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它

3.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为 p(x)?1?x/a?e,(a?0) 2a?1?x/a求?+?的密度函数。解： p?(x)?p?(x)?， p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy， ?e??2ap???(x)??1?|x?y|?|y|?exp???dy??4a2a???x?y?yx?y?ya0?x?1a[edy?e当x?0时， ?2????04a1x?x?(1?)ea4aax?1[e当x?0时， p???(x)?2?4a??x?y?yady??ex??y?x?yady]

dy??ex0?y?x?yady??e0??y?x?ya1xxady]?(1?)e

4aa1?|x|所以 p???(x)?(a?|x|)ea 24a3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为 p(x)?1 2?(1?x)证明：??1(???)也服从同一分布。 2 25

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