北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版(2)

解得a?1.

因此f(x)?3sinx?cosx. ……………………….5分 （Ⅱ）f(x)?3sinx?cosx

?2(31sinx?cosx)22

??2sin(x?)6.

所以函数f(x)的最小正周期为T?2?.

2k?+由

?????x??2k??262，k?Z. ?????x?2k??33，k?Z.

2k?+????,2k??33]，k?Z.……………13分

2k?+可得

因此函数f(x)的单调递减区间为[

（16）（本小题满分13分） （Ⅰ）在△ABC 中，

AB?2,A? 因为

π6，BC?2，

BABBC?由正弦定理可得sin?ACBsinA，

222???22π1sin?ACBsin62即，

ACDsin?ACB? 所以

22．

因为?ACB为钝角，所以

?ACB?3π4.

?BCD?所以

π4． ????????????????????????6分

222（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知BD?CB?DC?2CB?DC?cos?BCD，

BD2?(2)2?(3?1)2?2?2?(3?1)?cos即

整理得BD?2．

π4，

在△ABC 中，由余弦定理可知BC?AB?AC?2AB?AC?cosA，

222(2)2?22?AC2?2?2?AC?cos即

2π6，

整理得AC?23AC?2?0．解得AC?3?1． 因为?ACB为钝角，所以AC?AB?2.所以AC?3?1．

所以△ABC的面积

S?1113?1AC?AB?sinA??2?(3?1)??2222．

…………………….13分

17. （本小题满分14分）

xx?a(Ⅰ) f(x)的定义域为.

??f￠(x)=x(x-2a)(x-a)2.

x????,0??0,???￠（1）当a=0时，f(x)?x(x?0),f(x)=1，则，时，f(x)为增

函数；

￠（2）当a>0时，由f(x)>0得，x?2a或x?0，由于此时0?a?2a，

所以x?2a时,f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数；

￠由f(x)<0得，0?x?2a，考虑定义域，当0?x?a，f(x)为减函数，

a?x?2a时，f(x)为减函数；

￠（3）当a<0时，由f(x)>0得，x?0或x?2a，由于此时2a?a?0，所以

当x<2a时，f(x)为增函数，x?0时，f(x)为增函数.

￠ 由f(x)<0得，2a?x?0，考虑定义域，当2a?x?a,f(x)为减函数，

a?x?0时，f(x)为减函数.

(- ,0),(0,+ 综上，当a=0时，函数f(x)的单调增区间为

x?当a>0时，函数f(x)的单调增区间为

单调减区间为

).

( ,0)，(2a,+ ),

(0,a)，(a,2a).

( ,2a)，(0,+ )

x?当a<0时，函数f(x)的单调增区间为

单调减区间为

(2a,a)，(a,0).

……………………….7分 （Ⅱ）解：

当a?0时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)单调增，且x?(1,2)时x?a.

当0?2a?1时，即

0?a?12时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(2a,+ )单调增，即在(1,2)单

调增，且x?(1,2)时x?a.

1?a?1(3)当1?2a?2时，即2时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在(1,2)上不具有单调性，不合题

意.

(0,a),(a,2a)为减函数，同时需注意(4)当2a?2，即a?1时，由(Ⅰ) 可得，f(x)在

a??1,2?，满足这样的条件时f(x)在(1,2)单调减，所以此时a?1或a?2.

a?综上所述，

12或a?1或a?2.

……………………….14分 18.（本小题满分14分）

(Ⅰ) f(x)?sinx?2具有性质M. 依题意，若存在

?1x0?(?2,2)，使f(x0)?1，则x0?(?2,2)时有sinx0?2，即

??x0??2，k?Z.由于x0?(?2,2)，2.又因为区间(?2,2)内所以

sinx0??1，

x0?2k??

有且仅有一个

x0???2，使f(x0)?1成立，所以f(x) 具有性质M…5分

2f(x)?x?2mx?2m?1具有性质M，即方程x2?2mx?2m?0 （Ⅱ）依题意，若函数

在(?2,2)上有且只有一个实根.

22h(x)?x?2mx?2mh(x)?x?2mx?2m在(?2,2)上有且只有一个零点. 设，即

解法一：

(1)当?m??2时，即m?2时，可得h(x)在(?2,2)上为增函数，

?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3? 只需?解得交集得m?2.

（2）当?2??m?2时，即?2?m?2时，若使函数h(x)在(?2,2)上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：

（ⅰ）m?0时，h(x)?x在(?2,2)上有且只有一个零点，符合题意.

2?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3交集得?. (ⅱ)当?2??m?0即0?m?2时，需?解得??m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3?0??m?2?2?m?0(ⅲ)当时，即时，需?解得交集得

?2?m??23.

(3)当?m?2时，即m??2时，可得h(x)在(?2,2)上为减函数

?m?2,??h(?2)?0,2?m??,??h(2)?0,3交集得m??2. 只需?解得?综上所述，若函数f(x)具有性质M，实数m的取值范围是或m?0

……………………14分

m??23或m?2

解法二： 依题意，

（1）由h(?2)?h(2)?0得，(4?2m)(6m?4)?0，解得同时需要考虑以下三种情况：

m??23或m?2.

??2??m?2,???0,(2) 由?解得m?0.

??2??m?0,?0?m?2,??h(?2)?0,m?2,(3)由?解得?不等式组无解. ??2?m?0,??0??m?2,2?2m??,?m??h(2)?0,解得?3?3. （4）由?解得

综上所述，若函数f(x)具有性质M，实数m的取值范围是或m?0

…………………14分

19. （本小题满分13分）

(Ⅰ)1,3,1,5; 1,3,2,5;1,3,3,5 ……………………….3分

m??23或m?2

?11?t?2?,?a?tn?n?42? （Ⅱ）因为n，

1?(1,2)2t所以.

所以当n?2时，总有又

an?1?an.

a1?t?1，a3?9t?3. a3?a1?8t?2?0.

所以

故n?3时，总有从而只需比较

bn?an.

a1和a2的大小.

?11?t??,?a?a2，即t?1?4t?2，即?32?时， 当1

?an?是递增数列，此时bn?an对一切n?1,2,3,...100均成立.

(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)?0.

所以

?11?t??,?a?a2时，即t?1?4t?2，即?43?时， 当1

b1?a1，b2?a1，bn?an?n?3?.

(b1?a1)?(b2?a2)?(b3?a3)??(b100?a100)

所以

?0??(t?1)?t(?42)???0?...

0?1?3t.

??11?1?3t,t??,????43???0,t??1,1????32??综上，原式=?(Ⅲ)154.

首项为1的数列有6个； 首项为2的数列有6?2?8个；

.

……………………….9分

首项为3的数列有6?4?2?12个； 首项为4的数列有6?6?6?6?24个；

所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6?8?2?12?3?24?4?154. ……………………13分

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