MIMO信道传播参数估计的随机最大似然算法 - 图文

天津大学电子信息工程学院

MIMO信道传播参数估计的随机最大似然算法

【摘要】 针对多输入多输出(MIMO)信道，该文提出用随机最大似然(ML)法来估计信道瞬态时空参数。信道测量和信道探测一般需要估计信道传播参数，这也是构建高级信道模型的关键步骤。该文算法采用von Mises角度分布模型，该模型适用于信道测量中得到的角度数据。该信号模型是随机的，相应算法用来估计漫散射分量特别有用。相比确定性算法，该算法具有更低的复杂度和更快的收敛性。这些优点是由于该模型具有较低维度和更简单的最优化方法。通过比较与Cramer-Rao下界(CRLB)的差距来研究该算法估计值的统计性能。仿真表明小样本时该算法的方差接近CRLB。该算法除用于推导外，应用于数据信道模型也能得到非常有意义的结果。

关键词 信道探测；参数估计

1引言

功能强大的多维信道模型常常需要信道探测和广泛的信道测量。多维信道模型是未来高频谱效率无线通信系统收发机结构制造和网络设计的重要工具。一个重要应用是多输入多输出(MIMO)通信系统的发展，MIMO系统采用多发射天线、多接收天线和相应的信道传播参数估计来进行信道探测。

无线传输中，一般将接收机收到的信号分解为镜像反射分量和漫散射分量。镜像分量通常被认为携带大部分功率并用很多参数未知的确定性信号来模拟。漫反射分量通常被认为是噪声，在模型中可以忽略不计。然而在文献[1]-[3]的测量中，漫散射分量非常显著甚至占主导地位，特别是在非视距(NLOS)情况下。散射体丰富的环境很适合MIMO系统的设计，因此系统设计时考虑散射分量很重要。针对由随机分布的障碍物和粗糙表面引起的波传播与漫散射，文献[4]-[5]中有其可分析、可计算模型的详尽介绍。

确定性算法一般用很多离散波模型来估计传播参数。该算法能得到高度非线性似然函数的最大值，但似然函数局部极大值可能会有收敛性问题。由于要估计很多离散波参数，计算的复杂度和估计变量数将变大。另外确定性算法采用文献[6]中的离散射线模型，用该模型从散射簇中估计一组传播波参数可能会有不太理想的估计效果。如果是这样的话，每个波形参数都被随机分布一个与任何物理现象都不对应的分布数，它仅属于估计过程中的一个假定值，如文献[8]中所述。

针对MIMO系统漫散射分量角度分布参数，该文使用了一种估计算法。该算法能避免出现高维优化和高度非线性函数。由于模型较低维度而具有的优点将得到更简单的优化问题。文献[9]中提出对漫散射分量时域特性的估计方法，但文献[9]没有估计角度分布参数。针对移动基站信道功率谱，文献[10]提出相似的角度分布估计模型。

文献[11]得出散射分量的最大似然估计值，其角度分布假定是高斯分布。由于角度扩展很小，天线阵列间的相关系数可近似展开成泰勒级数。文献[12]对于小角度扩展，认为每一射线源的空间特性可展开成一阶泰勒级数，进而得到广义阵列复合（GAM）模型，该模型能与众所周知的以子空间为基础的算法相结合，如MUSIC算法。通过假定小角度扩展，文献[13]认为可用围绕标称方向的、对称的两个射线的复合来近似表示一个分散的射线源。这种近似允许高效算法的使用，如ESPRIT算法和根值MUSIC算法。由此产生的算法被称为扩展ESPRIT算法，扩展根值MUSIC算法，等等。文献[14]和[15]中可以找到起源于这些算法的其它算法。

本文要估计散射体围绕接收端而得的漫散射分量。因此没有必要假设小角度扩展，文献[11]-[13]中的

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算法可能不适用。本文采用文献[16]中的MIMO相关信道模型，文献[16]假定接收机被大量散射体围绕。针对角度分布模型，我们采用von Mises分布（见文献[17]），该分布模型的范围有限，很适合角度数据。据称有人基于测量数据，认为该模型是角度概率密度函数很好的分析模型[18]。采用服从von Mises分布的角度概率密度函数的另一个好处是：它能提供MIMO信道相关矩阵的封闭表现形式，因此不需要假定角度扩展很小。该矩阵经分析能被描述成某一随机过程基础参数的函数，因此能用它来估计信道参数。有人已在信道探测中应用von Mises分布参数估计模型。估计参数包括功率角度谱(PAS)，功率延迟谱(PDS)，角度扩展和发射阵列定位角。该模型的Cramér–Rao下界能被求出并在仿真时比较估计值与CRLB均方误差（MSE）的差异。小样本时，估计值性能接近于CRLB性能，即该估计值是最佳优化值。

本文组成如下：第二节介绍本文的MIMO信号模型。第三节介绍参数估计算法。第四节得到本文模型的CRLB。第五节频率选择性信道中，本模型也能估计时域传输参数。最后在第六节用仿真得到的一些结果得出大样本时估计值与CRLB的性能差异。

2信号模型

本模型发射端是以仰角发射，因此没有地面散射体阻挡传输波，接收端被很多本地散射体包围。假设发射端和接收端之间是非视距传播。我们认为传播波是平面波（远程）且只发生了一次散射。这种模型被称为“单环”模型[19],[20]，为了研究相关衰落对MIMO信道容量的影响，文献[16]和[19]中使用了该模型；为了研究天线分布对信道容量的影响，文献[21]中也使用了该模型。图1介绍了传播环境。该模型得到的相关矩阵也适用于其他模型的推导，如文献[22]和[23]中的Saleh–Valenzuela(SVA)模型。故该文提出的估计算法及性能分析法可以直接应用于SVA模型。

假设发射端有M根天线，接收端有N根天线。那么定义接收端天线接收信号是N×1向量y(k),发射端天线发射信号是M×1向量u(k)，MIMO随机信道矩阵为N×M矩阵H(k)，随机噪声是N×1的向量n(k)。上述信号是以时间kTs抽样连续时间信号而成的离散时间信号，Ts表示抽样间隔。由上所述，接收信号的定义是：

y(k)?H(k)u(k)?n(k) (1)

图1信道探测环境

该模型中假定信号带宽是非常窄的，信道被认为是非频率选择性信道。n(k)的统计特性将在本文第三节给出。

信道探测中每个MIMO子信道所包含信息相互独立是非常重要的，即接收信号可被表示成N×M的矩阵Y(k),它的每一行代表一个接收天线，每一列代表一个发射天线。图1介绍了收发两端天线常用的交换探测排列方式，其他模型也能采用这种阵列排列方式。Y(k)的元素Y(i,j)表示该信号由天线j发射，由天线i接收。

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?y0,0(k),?y0,M?1(k)???? Y(k)???? (2)

?yN?1,0(k),?yN?1,M?1(k)???因此我们将(1)的信号模型修改为:

Y(k)?H(k)u(k)?N(k) (3)

Y(k)和N(k)是N×M矩阵，向量u(k)是发射序列。探测序列u(k)是由功率为Pu的周期M序列构成的。

该算法不需要发射不同的探测序列，因为每个MIMO子信道可以被单独测量。该算法适用于多阵列交换收发天线的信道探测，如文献[6],[7],[25],[26]所述。

公式(3)的信道矩阵代表被周围散射体反射后到达接收阵列所有波的集合。由于很难具体地将信道矩阵表示成基础波函数，文献[6],[7],[25]和[26]提出一个不同的信号模型，此时接收信号可以表示成由参数确定但未知的几个波与附加噪声的叠加。一旦接收信号能表示为某一特定基础波参数的函数，就能用像广义空间交替期望最大算法的最大似然估计法高度精确地估计传播参数。然而，由于必须估计所有波的参数，模型矩阵的维数会变的很大，算法也会因似然函数的局部极大值而出现收敛性问题。

文献[16]提出一个基于“单环”模型的MIMO信道模型，模型的相关矩阵能被解析描述并用来推导信道参数的估计值。在此描述中，漫散射分量被认为是某一基础随机过程的实现而不是确定性信号的集合。作者推出任意两个子信道的互相关矩阵的封闭形式解，假定每个子信道的入射角服从von Mises分布，当然入射角也可以服从其他分布。文献[19],[21],[27]中考虑了相似的模型，但角度分布被假定是均匀的。 灵活的角度分布规律可以将模型有趣地理解为一个扭曲的环。环中反射较强的那部分比环中反射较弱的那部分更接近接收端。另外假定一个角度分布是von Mises角度概率密度函数的有限混合，模型可被理解为很多具有不同半径的扭曲环的叠加。因此该模型适用于任意散射环境。本文所用模型和文献[22],[23]的SVA模型在单输入多输出(SIMO)系统中有相同的协方差矩阵，这也说明上述设想是正确的。

如果发射端和接收端都发生散射，文献[28]推导的“双环“模型可能更适用于此情况。该模型假定有两个散射环：一个在发射端，一个在接收端。该模型的每条射线都会散射两次。该模型的缺点是即使两环散射体的数量趋于无限，还是无法符合中心极限定理，信道系数也不能收敛到高斯随机变量。因此不能只用一阶和二阶统计数字描述信道特性。结合蒙特卡洛仿真法的射线跟踪法已被用来评估该模型的性能。

扩展SVA模型是收发两端散射交互模型。该模型假设在收发两端有丰富的散射环境，且发射端和接收端的散射相互独立。在这此假设下，即使无穷多的散射体，信道系数也能收敛到高斯变量。所以可用一阶和二阶统计数字来描述信道特性。

本文仅讨论接收端周围的局部散射波，本文的估计算法也能直接扩展到SVA模型中。

3.角度传播参数估计

本节中我们将一直使用下列假设：

a) 视距分量及镜像分量不存在（莱斯衰落信道）。 b) 接收端被大量局部散射体围绕。

c) 在一个测量周期内信道是固定的且我们假设E[H(k)]=0

d) 附加噪声vec(N(k))是零均值循环对称复数高斯过程，其自协方差矩阵Cn=E[vec(N(k))vecH(N(k))]

已知且和H(k)相互独立。

e) 接收信号vec(Y(k))是瞬态零均值复数循环高斯白噪声过程。

中心极限定理可以证明e假设是正确的，因为Y(k)是由无数波叠加而成，各个波的复振幅相互独立且同分布，

d假设没有假设特定结构来表示噪声协方差矩阵，仿真中假设噪声是空间白噪声。d假设和e假设表明vec(H)是循环高斯矩阵。由于c假设,H(k)的时间指数已下降到简化表示法。

我们将信道矩阵以栈的形式分解成列向量而使模型量化。此时vec(Y(k))=vec(H)u(k)+vec(N(k))。由于

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vec(Y(k))是零均值瞬态复数循环高斯白噪声，它的概率密度函数是：

f?1?1?exp(?Nstr{CyCy}) NsNM(?Cy)?是NM×tr{·}代表矩阵的迹，Cy是NM×NM接收信号协方差矩阵, CNM的采样协方差矩阵，其定义y是

Cy?E[vec(Y(k)vecH(Y(k))] (4)

??1 CyNsNs?1k?0?vec(Y(k)vecH(Y(k)) (5)

因此在移除不随信号变化的常数项后,对数似然函数可写成：

?1? L??logCy?tr{CyCy} (6)

利用a-e假设，由公式(3)推出：

Cy?E[(vec(H)u(k)?vec(N(k)))?(vec(H)u(k)?vec(N(k)))H]

?E[vec(H)vecH(H)]u(k)2?Cn

?PuCH?Cn (7)

Pu是发射序列u(k)的功率，CH是NM×NMMIMO信道协方差矩阵，其定义是：

H CH?E[ve(cH)vec( )H ] (8)

Cn是已知的NM×NM噪声协方差矩阵。Cn=E[vec(N(k))vecH(N(k))]。

为使MIMO信道协方差矩阵能表示成传播参数的函数，我们们采用文献[16]和[20]的模型。该信道模型假定在接受端周围有一个散射体环。

图2 接收端有局部散射体的2×2信道几何结构图。其中D是发射端和接收端的距离。R是围绕接收端的散射体环的

半径。dlm是接收端天线l和m间的距离。该信道模型假设接收机周围有一个散射体环。

除了假设a-e,还有下列假设： f) 发射端角扩展Δ很小； g) D≥R≥max(δpq,,dlm);

h) 接收阵列的位置是已知的，即β是已知的；

i) 对于发射天线?和接收天线l间的任一MIMO子信道hlp，其变量E[|hlp|]是相等和已知的。我们用Ω来表示这个变量并称其为路径损耗。

我们把相对于发射阵列与接收阵列间连线的最大角定义为发射端角度扩展Δ，此时离开发射端的波被接收端周围的散射体环反射。无线信道漫散射分量角度分布范围通常是2π，甚至散射体平均集中分布(此时κ很大)，上述结论也成立。这表明角度扩展与接收端周围散射体环半径及发射端和接收端间的距离有关，Δ≈arcsin(R/D),文献[20]也提到这种关系。

假设i是可由假设g推出，即发射端与接收端间的距离比散射环的半径大得多。这说明所有传输分量都经历了相似的路径损耗。

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利用假设f-i,可以得到任意两个子信道lp与mq的互相关系数?lp,mq，即

?lp,mq?1E[hlph?mq] ?Cpqcos? ?e??exp(cpq?sin(?)sin(?)?blmcos(???)f(?)d? (9)

??? Ω是路径损耗，f(θ)是θ的角度概率密度函数，Cp,q=j2πδpq/λ,bl,m= j2πdl,m/λ,λ是发射信号波长，hlp是信道矩阵H第l行、第p列元素。参数Δ和α分别表示发射端的角度扩展和发射阵列相对于发射端与接收端连线的角度。

简言之，我们假设序列中没有通用损耗，发射阵列和接收阵列都是均匀直线天线阵列（ULAs）。因为我们能确定每个天线对的互相关系数，其他任意的天线配置也能被使用。除ULA排列方式,其他天线排列方式要选取发射阵列和接收阵列的一对天线作为参考天线。那么对其他收发天线对，α，β要被重新定义为α+αpq和β+βlm, αpq,βlm分别表示相对发射阵列和接收阵列参考天线的角度。我们假设天线是各向同性的，因此不需考虑模型中场模式的影响。接收端是非各向同性天线，其影响可用f(θ)表示：

?f(?)?f'(?)gl(?)gm(?)

gl(θ)是第l个接收天线的场模式，f’(θ)是实际的角度概率密度函数。这文献[22],[23]的SVA模型相似。

角度概率密度函数必须满足f(θ)= f(θ+2πk)(k为任意常数)，所以不能采用高斯概率密度函数。合适的角度概率密度函数应该满足von Mises分布，定义是：

f(?)?1exp(?cos(???)) (10)

2?I0(k)μ是对称中心（“平均方向”）,κ的范围是0（各向同性散射）到∞（极度集中），I0(·)是修正后的贝塞尔第一类零阶函数。图3表示不同κ时的von Mises分布曲线，由von Mises概率密度函数，(9)式的互相关函数可写成：

?lp,mq?exp(Cpqcos?)I0(k)2I0({Cpq?2sin2?(11)

212?2Cpqsin??(blmsin???sin?)?2?blmcos(???)??2?blm})由(6)式的对数似然函数。我们能找到μ,κ,α,Δ的估计值。

?1??}?argmax?,??,??,? {??,?,?,?{?logCy?tr{CyCy}} (12)

其中tr{·}表示迹函数。为了实现优化，我们将采用序列二次规划算法，用Matlab的fmincon函数来实

现。

针对多径散射簇，文献[31]扩展了该模型，其角度分布是von Mises概率密度函数的叠加。由于本文篇幅所限，在这我们不讨论该扩展模型。文献[32]也用到相似的方法，其中用到了拉普拉斯及von Mises概率密度函数。在这种情况下，镜像分量和视距分量可被表示成一个或两个混合分量。每种混合分量都有非常不同的波形（见图3）。该算法的优点是镜像反射分量周围已存在本地散射分量[31]。

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