63徐州市2012-2013学年高三（上）期中数学试卷（文科）(2)

∴数列{an}是以3为周期的数列， ∵a1a2a3=a1+a2+a3，∴a3=3 ∴S2012=670×（1+2+3）+1+2=4023 故答案为：4023． 点评： 本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 12．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足

，则

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由向量式变形可推得点P在CM上，而而=2可得答案． 解答： 解：由题意可得：∴，又的最小值是 ﹣2 ．

=，故夹角为π，由数量积的定义结合基本不等式， ，又sinθ+cosθ=1 22所以P、M、C三点共线，即点P在CM上， 而=2∵≤故答案为：﹣2 =，故cosπ=﹣2=2， ，由基本不等式可得： =1，故﹣2≥﹣2 点评： 本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．

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13．（5分）若函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为 3 ． 考点： 函数的零点． 专题： 函数的性质及应用． 3分析： 由题意根据函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间[﹣10，10]上的最大值，然后再进行判断． 33解答： 解：∵函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，又f（x）=x﹣ax=x（x﹣a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±． 3函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，∴∵f′（x）=3x﹣a，令f′（x）=0，解得 x=±当x＜﹣，或 x＞223

≤10，∴a≤100． ． ＜x＜时，时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．当﹣f′（x）＜0，函数f（x）是减函数． 故当x=﹣∵时，函数取得极大值为f（﹣）=≤． 3＜1000，∴f（10）=1000﹣10a＜1000，结合函数的单调性以及f（x）=x﹣ax（a＞0）， 32知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x﹣ax=1000，可得 x﹣a=． 2此时有a=x﹣，由于x为大于10的整数，由上知 x﹣2≤100，令x=11，12，13时，不等式成立， 当x=14时，有142﹣=196﹣71＞100，故可得a的值有三个， 故答案为 3． 点评： 此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[﹣10，10]上的值域，是一道好题，属于基础题． 14．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b= 4 ． 考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用f（m）=g（m），推出?sin（m﹣θ）=b（1﹣a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可． 解答： 解：由f（m）=g（m）， 即a（b+sinm）=b+cosm asinm﹣cosm=b﹣ab

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?sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=∵﹣1≤sin（m﹣θ）≤1 ∴﹣≤b（1﹣a）≤ ] ∵a，b均为大于1的自然数 ∴1﹣a＜0 b（1﹣a）＜0， ∴b（1﹣a）≥﹣b（a﹣1）≤ ， b≤=． ∵a≥4时 ，b＜2 ∴a＜4 当a=2时 b≤，b=2 当a=3时 b≤ 无解 综上：a=2，b=2 a+b=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）（2010?苏州一模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{bn}满足bn=anan+1

*

（n∈N）．

（1）若{an}是等差数列，且b3=12，求a的值及{an}的通项公式； （2）若{an}是等比数列，求{bn}的前项和Sn． 考点： 等比关系的确定；等差关系的确定． 专题： 计算题． 分析： （1）先根据{an}是等差数列表示出通项公式，再根据b3=12求得a3a4的值从而可确定a的值，求得{an}的通项公式． （2）先根据{an}是等比数列表示出通项公式，进而可表示出bn的表达式，根据2=a2可确定数列{bn}是首项为a，公比为a的等比数列，再对公比a等于1和不等于1进行讨论，即可得到最后答案． 解答： 解：（1）∵{an}是等差数列，a1=1，a2=a（a＞0），∴an=1+（n﹣1）（a﹣1）． 又b3=12，∴a3a4=12，即（2a﹣1）（3a﹣2）=12，

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解得a=2或a=﹣， ∵a＞0，∴a=2从而an=n． n﹣12n﹣1（2）∵{an}是等比数列，a1=1，a2=a（a＞0），∴an=a，则bn=anan+1=a． =a∴数列{bn}是首项为a，公比为a的等比数列， 当a=1时，Sn=n； 当a≠1时，Sn==． 22点评： 本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和．高考对数列的考查无外乎通项公式的求法和前n项和的求法，对经常用到的常用方法要熟练掌握． 16．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC． （1）求角B的大小； （2）设 考点： 正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题． 分析： （1）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，所以（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，由sinA＞0，所以cosB=．由此能求出B的大小． （2）因为，所以=3sinA+cos2A=﹣2（sinA，试求

的取值范围．

﹣）+2，由，得 30°＜A＜90°，从而，由此能求出的取值范围． 解答： 解：（1）因为（2a﹣c）cosB=bcosC， 所以（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，…（3分） 即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA． 而sinA＞0， 所以cosB=…（6分） 故B=60°…（7分） （2）因为所以=3sinA+cos2A…（8分） ， 9

=3sinA+1﹣2sinA=﹣2（sinA﹣）+22…（10分） 由 得所以30°＜A＜90°， 从而故的取值范围是， …（12分） ．…（14分） 点评： 本题考查正弦函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用． 17．（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 分析： 设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案． 解答： 解：设箱底边长为x，则箱高为h=×（0＜x＜a），…（2分） 箱子的容积为V（x）=a），． …（6分） 由V′（x）=且当x∈（0，=0解得x=0（舍），x=）时，V′（x）＞0；当x∈（，…（8分） ，a）时，V′（x）＜0， =（0＜x＜所以函数V（x）在x=处取得极大值，…（10分） 10

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