不定积分例题及答案(2)

曲线的方程。

知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：

d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx又点(e2,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1， 所以曲线的方程为f(x)?ln|x|?1.

★★6、一物体由静止开始运动，经t秒后的速度是3t2(m/s)，问：

（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？

（2） 物体走完360米需要多少时间？

知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。

思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?f(t)， 则由速度和位移的关系可得：

d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dt又因为物体是由静止开始运动的，?f(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。

3(1) 3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?3?27米；

(2)令t?360?t?33360秒。

习题4-2

★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。

思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5

1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。

知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！

6

3t★（1）edt

?思路:凑微分。 解：edt??3t13t13ted(3t)?e?C ?333★(2)(3?5x)dx 思路:凑微分。 解：(3?5x)dx??★(3)

3114(3?5x)d(3?5x)??(3?5x)?C ?520??31?3?2xdx

思路:凑微分。 解：

1111dx??d(3?2x)??ln|3?2x|?C. ?3?2x2?3?2x2★(4)

?135?3xdx

思路:凑微分。

12?1111133解：?dx??d(5?3x)??(5?3x)d(5?3x)??(5?3x)?C. ??333325?3x5?3xxb★(5)(sinax?e)dx 思路:凑微分。

?1x1解：?(sinax?e)dx??sinaxd(ax)?b?ebd()??cosax?beb?C

aba★★(6)

xbxx?costtdt

12t思路:如果你能看到d(t)?dt，凑出d(t)易解。

解：

?costtdt?2?costd(t)?2sint?C

102★(7)tanxsecxdx

?思路:凑微分。 解：tan★★(8)

?10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?1tan11x?C. 11dx?xlnxlnlnx

7

思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：

dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C

★★(9)tan1?x?2xdx1?x2

思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难度！

解：tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C

★★(10)

dx?sinxcosx

思路:凑微分。 解：

方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。

dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C

方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。

dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C

方法三： 三角公式sinx?cosx?1，然后凑微分。

22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx

??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C ★★(11)

dx?ex?e?x

dxexdxdexdex思路:凑微分：x。 ???e?e?xe2x?11?e2x1?(ex)2dxexdxdexx解：?x???arctane?C ?x2xx2??e?ee?11?(e)2★(12)xcos(x)dx

?思路:凑微分。 解：xcos(x)dx?★★(13)

?21122cosxdx?sinx2?C ?22

?xdx2?3x2 8

1dx21d(2?3x2)思路:由凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx解：

?1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C

6632?3x22?3x2xdx2★★(14)cos(?t)sin(?t)dt

?思路:凑微分。

解：cos(?t)sin(?t)dt??21?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t)

??1cos3(?t)?C. 3?3x3dx ★★(15)?41?x思路:凑微分。

3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16)

sinx?cos3xdx

思路:凑微分。 解：

sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17)

?x9x92?x20dx

思路:经过两步凑微分即可。 解：

?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x102)21x10d?arcsin()?C

2102x10★★(18)

?1?x9?4x2dx

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx

9

12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2）

222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19)

12?dx?2x2?1

思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：

dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx

??1221?(11?)d2x2x?12x?111d(2x?1)?2x?12222??11d(2x?1)?ln2x?1222x?1?C.2x?1

★(20)

xdx?(4?5x)2

思路:分项后分别凑微分即可。 解：

xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)?1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.

25?4?5x25?(4?5x)225254?5xx2dx★(21)?

(x?1)100思路:分项后分别凑微分即可。

x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1解：???(?2?)dx 100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1) 9899100(x?1)(x?1)(x?1)111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 10

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