傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别(2)

的系统。否则就是非线性系统。

时不变离散时间系统：在同样起始状态下，系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关。即： 。否则就是时变系统。

(2) LTI离 散时间系统的表示方法： 一般用差分方程来描述。

有三种基本的内部数学运算关系：单位延时、乘系数和相加。 差分方程的一般形式是：

(3) 离散时间系统 响应的ZT法求解的基本步骤： 求出激励的ZT；

对表示离散系统的差分方程两边施加ZT； 把激励的ZT代入，求出响应的ZT； 求IZT，即可得到系统的响应。 离散时间系统的传递函数

定义1：定义 为离散系统的传递函数或系统函数。它表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值。

定义2：定义离散系统的单位冲激响应为系统对单位冲激序列 的零状态响应，并记作为 ，即

定义3：离散系统的单位阶跃响应为为系统对单位阶跃序列u(n) 的零状态响应。

第五章 离散傅里叶变换 1 离散傅里叶 变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样：

目的：解决信号的离散化问题。

效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断：

原因：工程上无法处理时间无限信号。

方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓：

目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现。

表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。

(4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。过程见图1。

图1 DFT推导过程示意图

(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：

(i) 是离散函数，仅在离散频率点 处存在冲激，强度为 ，其余各点为0。

(ii) 是周期函数，周期为 ，每个周期内有 个不同的幅值。

(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。

2 DFT及 IDFT的定义

(1) DFT定义：设 是连续函数 的 个抽样值 ，这N个 点的宽度为N的DFT为：

(2) IDFT定义：设 是连续频率函数 的 个抽样值 ， 这N个 点的宽度为N的IDFT为：

(3) 称为N点DFT的变换核函数， 称为N点 IDFT的变换核函数。它们互为共轭。

(4) 同样的信号，宽度不同的DFT会有不同的结果。DFT正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。

(5) 引入 (i) 用途：

(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为 和 。 (b) 核函数的正交性可以表示为： (c) DFT可以表示为： (d) IDFT可以表示为： (ii) 性质：周期性和对称性： (a) (b) (c) (d) (e) (f) 3 离散谱的性 质

(1) 离散谱定义：称 为离散序列 的DFT离散谱，简称离散谱。 (2) 性质：

(i) 周期性：序列的N点的DFT离散谱是周期为N的 序列。 (ii) 共扼对称性：如果 为实序列，则其N点的DFT关于原 点和N/2都具有共轭对称性。即 ； ；

(iii) 幅度对称性：如果 为实序列，则其N点的DFT关于原 点和N/2都具有幅度对称性。即 ； ；

(3) 改写： (i) 简记 为 (ii)简记 为

(iii) DFT对简记为： 或 (iv) (v) 4 DFT总结

(1) DFT的定义是针对任意的离散序列 中的有限个离散抽样 的，它并不要求该序列具有周期性。

(2) 由DFT求出的离散谱 是离散的周期函数，周期为 、离散间隔为 。离散谱关于变元k的周期为N。

(3) 如果称离散谱经过IDFT所得到的序列为重建信号， ，则重建信号是离散的周期函数，周期为 (对应离散谱的离散间隔的倒数)、离散间隔为 (对应离散谱周期的倒数)。

(4) 经IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为 。

(5) 实序列的离散谱关于原点和 (如果N是偶数)是共轭 对称和幅度对称的。因此，真正有用的频谱信息可以从0~ 范围获得，从低频到高频。 (6) 在时域和频域 范围内的N点分别是各自的主值区间或 主值周期。

5 DFT性质

(1) 线性性： 对任意常数 ( )，有 (2) 奇偶虚实性：

(i) DFT的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果。

(ii) DFT有如下的奇偶虚实特性：

奇 奇；偶 偶；实偶 实偶；实奇 虚奇； 实 (实偶) + j(实奇)；实 (实偶)·EXP(实奇)。

(3) 反褶和共轭性： 时域 频域 反褶 共轭 共轭＋反褶 (4) 对偶性：

反褶 共轭＋反褶 共轭 (i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT，结果是原时域序列反褶的N倍；

(ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT结果是原时域序列的N倍。 (5) 时移性： 。序列的时移不影响DFT离散谱的幅度。 (6) 频移性：

(7) 时域离散圆卷积定理：

(i) 圆卷积：周期均为N的序列 与 之间的圆卷积为 仍是n的序列，周期为N。

(ii) 非周期序列之间只可能存在线卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存在线卷积。

(8) 频域离散圆卷积定理： (9) 时域离散圆相关定理： 周期为N的序列 和 的圆相关： 是n的序列，周期为N。

(10) 。其中 表示按k进行DFT运算

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