傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别

傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。而拉 普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。所 以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有 一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。

傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。主要用于信号处 理。

拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。

z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。

第四章 Z变换 1 Z变换的定 义 (1) 序列 的ZT：

(2) 复变函数 的IZT： ， 是复变量。 (3) 称 与 为一对Z变换对。简记为 或

(4) 序列的ZT是 的幂级数。 代表了时延， 是单位时延。 (5) 单边ZT： (6) 双边ZT： 2 ZT收敛域 ROC

定义：使给定序列 的Z变换 中的求和级数收敛的z的集合。 收敛的充要条件是它 (3) 有限长序列的ROC 序列 在 或 (其中 )时 。 收敛域至少是 。

序列的左右端点只会影响其在0和 处的收敛情况： 当 时，收敛域为 ( 除外)

当 时，收敛域为 ( 除外) 当 时，收敛域为 ( 除外) 右边序列的ROC 序列 在 时 。

如果 ，则序列为因果序列。 ROC的情况： 当 时，ROC为 ； 当 时，ROC为 。 左边序列的ROC 序列 在 时 。

如果 ，则序列为反因果序列。 ROC的情况： 当 时，ROC为 ； 当 时，ROC为 。 双边序列的ROC

序列在整个区间都有定义。

双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是

如果 存在且 ，则双边序列的ROC为 ，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。

注意：

求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大； 实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平 面上的某个圆外面的区域。

关于极点与ROC关系的一些结论：

一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通 的。

序列ZT的ROC是以极点为边界的。

右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。

左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。

双边序列ZT的ROC，是以模的大小相邻近的两个极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域 (不包括两个圆周)。

3 常用序列及 其ZT 单位冲激序列d(n) 定义： ZT： ROC：

注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。 单位阶跃序列u(n) 定义： ZT：

序列的单边ZT用双边ZT表示为： 序列是因果序列的充要条件是： 序列是反因果序列的充要条件是： 矩形脉冲序列GN(n) 定义： ZT： ( )

注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。

单位斜变序列nu(n) 单边指数序列anu(n) 4 ZT的性质 (1) 线性性： ( ) (2) 时域平移性： (i) 双边ZT：

(a) 左移： ( ) (b) 右移： ( )

(c) 序列时移最多只会使ZT在 处的零、极点情况发生变化。 (ii) 单边ZT： 左移： 右移： ( )

对因果序列： (3) 时域扩展性： 定义： ，a 是扩展因子。

a>1 时，相当于在原序列每两点之间插入(a-1) 个零。

a<-1时，相当于原序列先反褶，然后每两点之间插入(-a-1) 个零。 ROC： 或

如序列是偶对称的，则 如序列是奇对称的，则

如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点(或极点) ，那么它必含有另外一个与互为倒数的零点(或极点) 。

(4) 时域共轭性： (i) ( )

(ii) 如果序列是实序列，则

(iii) 如果实序列的ZT含有一个零点(或极点) ，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点(或极点) 。

(5) z域 尺度变换(或序列指数加权)性：

用复指数序列 去调制一个序列时，可以调制其相位特性。 (6) z域 微分(或序列线性加权)性： (i) ( )

(ii) ROC唯一可能的变化是加上或去掉0或 。 (iii) ( ) 初值定理： 是因果序列， ，则 。 终值定理： 是因果序列， ，则

只有在 存在时才能用, 此时 的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能位于 ，且是一阶极点)。

逆Z变换的求解

部分分式展开法： 基本思路：把 展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加即可得到 。通常做法展开的对象是 ，而不是 。

幂级数展开法： 把 按 展成幂级数，那么其系数组成的序列 即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。

6 离散时间系 统 离散时间系统及其分类：

定义：离散时间系统就是输入输出都是序列的系统。输入 通常称为激励，输出 称为响应。输入输出的对应关系可简记为

系统的响应可以分为零状态响应(系统处于零状态时对应的响应)和零输入响应(没有激励时系统 的响应)。

线性离散时间系统：对任意一组常数 ( )，满足条件

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