中考复习之专题四 - 方程与方程组-完美编辑版

中考专题复习

中考复习之专题四 方程与方程组

一. 教学目标：

1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，

2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。

3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。 二. 教学重点与难点

1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用 2. 列方程解决生活实际中的问题 三.知识要点

知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。

使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义

只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程 几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组 知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法

一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1 二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程 知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系 当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。 知识点5、一元二次方程的定义

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。

知识点6、一元二次方程的几种解法

如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。 知识点7、分式方程的解法

（1）去分母，把分式方程转化为整式方程 （2）解整式方程 （3）检验

知识点8、解分式方程要验根的原因

解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式. page 1 of 9

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因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.

知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析

掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。

例题精讲

例1. 选择题

（1）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ D ）个正方体的重量。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

（2）如图给出的是2007年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ D ）

A. 69 B. 54 C. 27 D. 40

（3）小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（ D ）

A. 20158.4元 B. 20198元 C. 20396元 D. 20316.8元

（4）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ C ）

A. 2000元 B. 1925元 C. 1835元 D. 1910元

（5）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ B ）

A. x·40%×80%＝240 B. x（1＋40%）×80%＝240 C. 240×40%×80%＝x D. x·40%＝240×80%

（6）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ B ）

8 A. S＝24

B. S＝30

13 D. S＝39 10 C. S＝31 ?ax?by?4?x?2（7）已知方程组?的解为?，则2a－3b的值为（ B ）

ax?by?2y?1?? A. 4 B. 6 C. －6 D. －4 page 2 of 9

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（8）如图，平行四边形ABCD的周长是48，对角线AC与BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长多6，若设AD?x，AB?y，则可用列方程组的方法求AD，AB的长，这个方程组可以是：（ A ）

Ａ Ｄ Ｏ Ｂ （第8题图） Ｃ

A. ??2(x?y)?48

?x?y?6 B. ??2(x?y)?48 C.

?y?x?6?x?y?48?x?y?48 D. ???x?y?6?y?x?6?y?ax?b,的二元一

y?kx?（9）如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，?则根据图像可得，关于?次方程组的解是（ C ）

?x?4A. ??y?2?x??4?x??4B.? C.??y?2?y??2?x?4D.? ?y??2

（10）不解方程判别方程2x2＋3x－4＝0的根的情况是（ B ） A. 有两个相等实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 只有一个实数根； D. 没有实数根

（11）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ B ） A. x2＋130x－1400＝0 B. x2＋65x－350＝0

C. x2－130x－1400＝0 D. x2－65x－350＝0

（12）两圆的半径分别是方程x2－3x＋2＝0的两根。且圆心距d＝1，则两圆的位置关系是（ B ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交

（13）已知x是实数，且A. 1

32?(x?3x)?2，那么x2＋3x的值为（ B ） 2x?3xC. 3

D. －1或3

B. －3或1

x2?2x?3（14）分式的值为0，则x的取值为（ A ）。

x?1A. x＝－3 C. x＝－3或x＝1

B. x＝3

D. x＝3或x＝－1

（15）若关于x的分式方程A. －2

B. 0

2m6?x有增根，则m的值为（ C ） ??2x?2x?2x?4 C. 1 D. 2

例2. 填空题

（1）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立

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方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为12立方米。

（2）把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有4种换法．

（3）若一个等腰三角形三边长均满足方程x2－6x＋8＝0，则此三角形的周长为10．

（4）当k的值是0（填出一个值即可）时，方程

例3. 方程（m＋1）x|m|1＋（m－3）x－1＝0．

（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；

（2）m取何值时，方程是一元一次方程．

＋

xk?2x 只有一个实数根。 ?2x?1x?x解：（1）m＝1，x1＝

1?31?3,x2? （2）m＝0或m＝－1 22例4. 某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。

⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式： 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 ?? a a＋b a＋2b ?? ⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？ 解：（1）a?3b （2）依题意得??a?3b?18

?a?14b?2(a?4b) 解得??a?12

b?2?∴12＋20×2＝52

答：第21排有52个座位.

例5. 某印刷厂1?月份印刷了书籍60?万册，?第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？

解：设2、3月份平均每月的增长率为x，即60＋60（1＋x）＋60（1＋x）2＝200 设增长率为x列方程60＋60（1＋x）＋60（1＋x）2＝200 例6. 探究：

（1）方程x2＋2x＋1＝0的根为x1＝____，x2＝_____，则x1＋x1＝______，x1·x2＝_____； （2）方程x2－3x－1＝0的根为x1＝____，x2＝_____，则x1＋x2＝______，x1·x2＝_____； （3）方程3x2＋4x－7＝0的根为x1＝_____，x2＝_____，则x1＋x2＝______，x1·x2＝_____． 由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题

已知2＋3是方程x2－4x＋C＝0的一个根求方程的另一个根及C的值． 解：（1）x1＝－1，x2＝－1，x1＋x2＝－2，x1·x2＝1 （2）x1＝3?133?13,x2?，x1＋x2＝3，x1·x2＝－1 22（3）x1＝1，x2＝－

747，x1＋x2＝－，x1·x2＝－ 333 page 4 of 9

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bc，x1·x2＝，证明略 aa猜想：ax2＋bx＋c＝0的两根为x1与x2，则x1＋x2＝－应用：另一根为2－3，C＝1

例7. ?某体育彩票经销商计划用45000?元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，

B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A?种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案； （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？

（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．

解：可设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，?B种彩票y张，C种彩票z张， 则可分以下三种情况考虑：

（1）只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组?解得x<0，所以无解．只购进A种彩票和C种彩票， 依题意可列方程组??x?y?1000?20,

1.5x?2y?45000??x?z?1000?20,?x?5000,解得?，

?1.5x?2.5z?45000?z?15000?y?z?1000?20,?y?10000,解得?，综上所述，若经

2y?2.5z?4500z?10000??只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组?销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票

各10扎．

（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎．

（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票共20扎．设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎，

?x?y?z?20,?y??2x?10,?则? ?1.5?1000x?2?1000y?2.5?1000z?45000z?x?10??∴1≤x<5，

又∵x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎．

课后练习

一. 填空题：

1. 方程 2x＋y＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿

?x?12. 若 ?是方程3ax－2y＝2 的解，则 a＝＿＿＿＿

?y?23. 当 a ＿＿＿＿时，方程 （a－1） x2＋x－2＝0 是一元二次方程。

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